Perpendicularitat entre recta i pla

Una recta i un pla seran perpendiculars quan el vector director de la recta sigui paral·lel al vector normal del pla. Com sabem que dos vectors són paral·lels si i només si són linealment dependents, només haurem de comprovar si els seus components són proporcionals.

Una recta $r$ amb vector director $\vec{v} = (v_{1}, v_{2}, v_{3})$ i un pla $π$ amb vector normal $\vec{n} = (A, B, C)$ són perpendiculars si i només si $\vec{v}$ i $\vec{n}$ són linealment dependents:

$r perpendicular a π \Leftrightarrow \frac{v_{1}}{A} = \frac{v_{2}}{B} = \frac{v_{3}}{C}$

Exemple

La recta $r : (x, y, z) = (2, 0, - 3) + k \cdot (- 1, 3, 5)$ i el pla $π : x - 3 y - 5 z + 2 = 0$ són perpendiculars ja que el vector director $\vec{v} = (- 1, 3, 5)$ i el vector normal $\vec{n} = (1, - 3, - 5)$ verifiquen: $\frac{- 1}{1} = \frac{3}{- 3} = \frac{5}{- 5}$