Angle entre dues rectes

A l'espai, dues rectes poden ser coincidents, paral·leles, secants o bé creuar-se. Els angles que determinen es defineixen de manera diferent en cada cas. Així:

Si dues rectes són coincidents o paral·leles formen un angle de $0^{\circ}$ .
Si dues rectes són secants, determinen quatre angles iguals dos a dos. El menor d'aquest angle es defineix com l'angle entre les rectes.
Si dues rectes es creuen, l'angle entre elles és el més petit dels angles que forma la paral·lela a una de les rectes que talla a l'altra.

Per tant, igual que succeïa en el pla, el cosinus de l'angle $α$ coincidirà (excepte el signe) amb l'angle format pels vectors directors de la recta. Per tant,

$\cos (\hat{r s}) = \cos α = | \cos (\hat{\vec{u} \vec{v}}) | = | \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{| \vec{u} | | \vec{v} |} | = \frac{| \vec{u} \cdot \vec{v} |}{| \vec{u} | | \vec{v} |}$

on $\vec{u}$ i $\vec{v}$ són els vectors directors de les rectes $r$ i $s$ .

Per tant,

$α = \arccos (\frac{| \vec{u} \cdot \vec{v} |}{| \vec{u} | | \vec{v} |}) α \in [0, \frac{π}{2}]$

Finalment, si $\vec{u} = (u_{1}, u_{2}, u_{3})$ i $\vec{v} = (v_{1}, v_{2}, v_{3})$ , l'expressió en components de la fórmula anterior és:

$\cos (α) = \frac{| u_{1} v_{1} + u_{2} v_{2} + u_{3} v_{3} |}{\sqrt{u_{1}^{2} + u_{2}^{2} + u_{3}^{2}} \sqrt{v_{1}^{2} + v_{2}^{2} + v_{3}^{2}}}$

Exemple

Calcula l'angle que formen les rectes: $r : \frac{x + 2}{5} = \frac{y - 1}{2} = z i s : {\begin{cases} x + y + 2 z = 3 \\ x - y - z = 1 \end{cases}$

Primer hem de buscar un vector director de $r$ i un altre de $s$ :

Un vector director de $r$ és $\vec{u} = (5, 2, 1)$ .
Per trobar un vector director de $s$ , escollim $z$ com a paràmetre i resolem el sistema d'equacions per Cramer obtenint:

$s : {\begin{cases} x = 2 - \frac{1}{2} k \\ y = 1 - \frac{3}{2} k \\ z = k \end{cases}$

i per tant un vector director de $s$ és $\vec{u} = (- 1, - 3, 2)$ .

Ara ja estem en condicions d'aplicar la fórmula descrita anteriorment:

$\begin{aligned} \cos (α) = & \frac{| u_{1} v_{1} + u_{2} v_{2} + u_{3} v_{3} |}{\sqrt{u_{1}^{2} + u_{2}^{2} + u_{3}^{2}} \sqrt{v_{1}^{2} + v_{2}^{2} + v_{3}^{2}}} = \frac{| 5 \cdot 1 + 2 \cdot 3 + 1 \cdot (- 2) |}{\sqrt{5^{2} + 2^{2} + 1^{2}} \sqrt{1^{2} + 3^{2} + (- 2)^{2}}} \\ = & \frac{9}{\sqrt{30} \sqrt{14}} = 0.439 \end{aligned}$

Per tant,

$α = \arccos (0.439) = 63, 95^{\circ}$