Ángulo entre dos rectas

En el espacio, dos rectas pueden ser coincidentes, paralelas, secantes o bien cruzarse. Los ángulos que determinan se definen de manera distinta en cada caso. Así:

Si dos rectas son coincidentes o paralelas forman un ángulo de $0^{\circ}$ .
Si dos rectas son secantes, determinan cuatro ángulos iguales dos a dos. El menor de dichos ángulos se define como el ángulo entre las rectas.
Si dos rectas se cruzan, el ángulo entre ellas es el más pequeño de los ángulos que forma la paralela a una de las rectas que corta a la otra.

Por tanto, al igual que sucedía en el plano, el coseno del ángulo $α$ coincidirá (excepto el signo) con el ángulo formado por los vectores directores de la recta. Por tanto,

$\cos (\hat{r s}) = \cos α = | \cos (\hat{\vec{u} \vec{v}}) | = | \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{| \vec{u} | | \vec{v} |} | = \frac{| \vec{u} \cdot \vec{v} |}{| \vec{u} | | \vec{v} |}$

siendo $\vec{u}$ y $\vec{v}$ vectores directores de las rectas $r$ y $s$ .

Por tanto,

$α = \arccos (\frac{| \vec{u} \cdot \vec{v} |}{| \vec{u} | | \vec{v} |}) α \in [0, \frac{π}{2}]$

Por último, si $\vec{u} = (u_{1}, u_{2}, u_{3})$ y $\vec{v} = (v_{1}, v_{2}, v_{3})$ , la expresión en componentes de la fórmula anterior es:

$\cos (α) = \frac{| u_{1} v_{1} + u_{2} v_{2} + u_{3} v_{3} |}{\sqrt{u_{1}^{2} + u_{2}^{2} + u_{3}^{2}} \sqrt{v_{1}^{2} + v_{2}^{2} + v_{3}^{2}}}$

Ejemplo

Calcula el ángulo que forman las rectas: $r : \frac{x + 2}{5} = \frac{y - 1}{2} = z y s : {\begin{cases} x + y + 2 z = 3 \\ x - y - z = 1 \end{cases}$

Primero debemos buscar un vector director de $r$ y otro de $s$ :

Un vector director de $r$ es $\vec{u} = (5, 2, 1)$ .
Para encontrar un vector director de $s$ , escogemos $z$ como parámetro y resolvemos el sistema de ecuaciones por Cramer obteniendo:

$s : {\begin{cases} x = 2 - \frac{1}{2} k \\ y = 1 - \frac{3}{2} k \\ z = k \end{cases}$

y por tanto un vector director de $s$ es $\vec{u} = (- 1, - 3, 2)$ .

Ahora ya estamos en condiciones de aplicar la fórmula descrita anteriormente:

$\begin{aligned} \cos (α) = & \frac{| u_{1} v_{1} + u_{2} v_{2} + u_{3} v_{3} |}{\sqrt{u_{1}^{2} + u_{2}^{2} + u_{3}^{2}} \sqrt{v_{1}^{2} + v_{2}^{2} + v_{3}^{2}}} = \frac{| 5 \cdot 1 + 2 \cdot 3 + 1 \cdot (- 2) |}{\sqrt{5^{2} + 2^{2} + 1^{2}} \sqrt{1^{2} + 3^{2} + (- 2)^{2}}} \\ = & \frac{9}{\sqrt{30} \sqrt{14}} = 0.439 \end{aligned}$

Por tanto,

$α = \arccos (0.439) = 63, 95^{\circ}$