Posición relativa de tres planos

Para estudiar la posición relativa de tres planos $π_{1} (A; \vec{u}, \vec{v}), π_{2} (A^{'}; \vec{u^{'}}, \vec{v^{'}})$ y $π_{3} (A^{″}; \vec{u^{″}}, \vec{v^{″}})$ expresados por sus ecuaciones generales:

$\begin{array}{rrcl} π_{1} : & A_{1} x + B_{1} y + C_{1} z + D_{1} & = & 0 \\ π_{2} : & A_{2} x + B_{2} y + C_{2} z + D_{2} & = & 0 \\ π_{3} : & A_{3} x + B_{3} y + C_{3} z + D_{3} & = & 0 \end{array}$

Consideremos el sistema formado por las tres ecuaciones. Las matrices $M$ y $M^{'}$ asociadas al sistema son: $M = (\begin{matrix} A_{1} & B_{1} & C_{1} \\ A_{2} & B_{2} & C_{2} \\ A_{3} & B_{3} & C_{3} \end{matrix})$ $M^{'} = (\begin{matrix} A_{1} & B_{1} & C_{1} & - D_{1} \\ A_{2} & B_{2} & C_{2} & - D_{2} \\ A_{3} & B_{3} & C_{3} & - D_{3} \end{matrix})$

Podemos clasificar la posición relativa de los planos según la compatibilidad de los sistemas:

Sistema Compatible
- Sistema Compatible Indeterminado:
  - $r a n g o (M) = r a n g o (M^{'}) = 1$
    
    Las soluciones dependen de dos parámetros. Los tres planos son coincidentes.
  - $r a n g o (M) = r a n g o (M^{'}) = 2$
    
    Las soluciones dependen de un parámetro, por tanto tienen una recta en común.
    
    Ahora debemos determinar la posición de los planos dos a dos. Tenemos 2 opciones:
    - Los tres planos son secantes en una recta.
    - Dos planos coincidentes y un plano secante.
- Sistema compatible determinado:
  - $r a n g o (M) = r a n g o (M^{'}) = 3$
    
    Los planos son secantes en un punto.
- Sistema incompatible
  - $r a n g o (M) = 1$ ; $r a n g o (M^{'}) = 2$
    
    Sistema incompatible: Existen planos paralelos.
    
    A continuación debemos determinar si hay planos coincidentes.
  - $r a n g o (M) = 2$ ; $r a n g o (M^{'}) = 3$
    
    Sistema incompatible: Existen planos secantes.
    
    A continuación se debe determinar si también hay planos paralelos.