Para estudiar la posición relativa de tres planos $$\pi_1(A;\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}), \pi_2(A'; \overrightarrow{u'},\overrightarrow{v'})$$ y $$\pi_3(A''; \overrightarrow{u''}, \overrightarrow{v''})$$ expresados por sus ecuaciones generales:
$$$\begin{array}{rrcl} \pi_1:&A_1x+B_1y+C_1z+D_1&=&0 \\ \pi_2:& A_2x+B_2y+C_2z+D_2&=&0 \\ \pi_3:&A_3x+B_3y+C_3z+D_3&=&0\end{array}$$$
Consideremos el sistema formado por las tres ecuaciones. Las matrices $$M$$ y $$M'$$ asociadas al sistema son: $$$M=\begin{pmatrix} A_1 & B_1 & C_1 \\ A_2 & B_2 & C_2 \\ A_3 & B_3 & C_3 \end{pmatrix}$$$ $$$M'=\begin{pmatrix} A_1 & B_1 & C_1&-D_1 \\ A_2 & B_2 & C_2 &-D_2\\ A_3 & B_3 & C_3&-D_3 \end{pmatrix}$$$
Podemos clasificar la posición relativa de los planos según la compatibilidad de los sistemas:
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Sistema Compatible
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Sistema Compatible Indeterminado:
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$$rango (M) = rango (M') = 1$$
Las soluciones dependen de dos parámetros. Los tres planos son coincidentes.
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$$rango (M) = rango (M') = 2$$
Las soluciones dependen de un parámetro, por tanto tienen una recta en común.
Ahora debemos determinar la posición de los planos dos a dos. Tenemos 2 opciones:
- Los tres planos son secantes en una recta.
- Dos planos coincidentes y un plano secante.
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Sistema compatible determinado:
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$$rango (M) = rango (M') = 3$$
Los planos son secantes en un punto.
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Sistema incompatible
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$$rango (M) = 1$$; $$rango (M') = 2$$
Sistema incompatible: Existen planos paralelos.
A continuación debemos determinar si hay planos coincidentes.
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$$rango (M) = 2$$; $$rango (M') = 3$$
Sistema incompatible: Existen planos secantes.
A continuación se debe determinar si también hay planos paralelos.
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