Posició relativa de tres plans

Per estudiar la posició relativa de tres plans $π_{1} (A; \vec{u}, \vec{v}), π_{2} (A^{'}; \vec{u^{'}}, \vec{v^{'}})$ i $π_{3} (A^{″}; \vec{u^{″}}, \vec{v^{″}})$ expressats per les seves equacions generals:

$\begin{array}{rrcl} π_{1} : & A_{1} x + B_{1} y + C_{1} z + D_{1} & = & 0 \\ π_{2} : & A_{2} x + B_{2} y + C_{2} z + D_{2} & = & 0 \\ π_{3} : & A_{3} x + B_{3} y + C_{3} z + D_{3} & = & 0 \end{array}$

Considerem el sistema format per les tres equacions. Les matrius $M$ i $M^{'}$ associades al sistema són: $M = (\begin{matrix} A_{1} & B_{1} & C_{1} \\ A_{2} & B_{2} & C_{2} \\ A_{3} & B_{3} & C_{3} \end{matrix})$ $M^{'} = (\begin{matrix} A_{1} & B_{1} & C_{1} & - D_{1} \\ A_{2} & B_{2} & C_{2} & - D_{2} \\ A_{3} & B_{3} & C_{3} & - D_{3} \end{matrix})$

Podem classificar la posició relativa dels plans segons la compatibilitat dels sistemes:

Sistema Compatible
- Sistema Compatible Indeterminat:
  - $r a n g (M) = r a n g (M^{'}) = 1$
    
    Les solucions depenen de dos paràmetres. Els tres plans són coincidents.
  - $r a n g (M) = r a n g (M^{'}) = 2$
    
    Les solucions depenen d'un paràmetre, per tant tenen una recta en comú.
    
    Ara hem de determinar la posició dels plans dos a dos. Tenim 2 opcions:
    - Els tres plans són secants en una recta.
    - Dos plans coincidents i un pla secant.
- Sistema compatible determinat:
  - $r a n g (M) = r a n g (M^{'}) = 3$
    
    Els plans són secants en un punt.
- Sistema incompatible
  - $r a n g (M) = 1$ ; $r a n g (M^{'}) = 2$
    
    Sistema incompatible: Hi ha plans paral·lels.
    
    A continuació hem de determinar si hi ha plans coincidents.
  - $r a n g (M) = 2$ ; $r a n g (M^{'}) = 3$
    
    Sistema incompatible: Hi ha plans secants.
    
    A continuació s'ha de determinar si també hi ha plans paral·lels.