Exercicis de Posició relativa de tres plans

Estudia la posició relativa dels plans donats per les equacions següents: $\begin{array}{rrcl} π_{1} : & x + 3 y - 5 z - 3 & = & 0 \\ π_{2} : & 2 x - y + z & = & 0 \\ π_{3} : & 2 x + 6 y - 10 z - 7 & = & 0 \end{array}$

Veure desenvolupament i solució

Desenvolupament:

Comencem trobant el rang de la matriu $M$ i de la matriu ampliada $M^{'}$ :

$| M | = | \begin{matrix} 1 & 3 & - 5 \\ 2 & - 1 & 1 \\ 2 & 6 & - 10 \end{matrix} | = 0 | \begin{matrix} 1 & 3 \\ 2 & - 1 \end{matrix} | = - 7 \neq 0 \Rightarrow r a n g (M) = 2$

$| M^{'} | = | \begin{matrix} 1 & 3 & 3 \\ 2 & - 1 & 0 \\ 2 & 6 & 7 \end{matrix} | = - 7 \Rightarrow r a n g (M^{'}) = 3$

Per tant hi ha plans secants, determinem ara si existeixen plans paral·lels:

$\frac{1}{2} \neq \frac{3}{- 1} \Rightarrow π_{1} i π_{2} no són paral·lels$

$\frac{1}{2} = \frac{3}{6} = \frac{- 5}{- 10} \neq \frac{3}{7} \Rightarrow π_{1} i π_{3} són paral·lels$

Per tant els plans $π_{1}$ i $π_{3}$ són paral·lels i secants al pla $π_{2}$

Solució:

Els plans $π_{1}$ i $π_{3}$ són paral·lels i secants al pla $π_{2}$

Amagar desenvolupament i solució