Ejercicios de Posición relativa de tres planos

Estudia la posición relativa de los planos dados por las ecuaciones siguientes: $\begin{array}{rrcl} π_{1} : & x + 3 y - 5 z - 3 & = & 0 \\ π_{2} : & 2 x - y + z & = & 0 \\ π_{3} : & 2 x + 6 y - 10 z - 7 & = & 0 \end{array}$

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Desarrollo:

Empezamos encontrando el rango de la matriz $M$ y de la matriz ampliada $M^{'}$ :

$| M | = | \begin{matrix} 1 & 3 & - 5 \\ 2 & - 1 & 1 \\ 2 & 6 & - 10 \end{matrix} | = 0 | \begin{matrix} 1 & 3 \\ 2 & - 1 \end{matrix} | = - 7 \neq 0 \Rightarrow r a n g o (M) = 2$

$| M^{'} | = | \begin{matrix} 1 & 3 & 3 \\ 2 & - 1 & 0 \\ 2 & 6 & 7 \end{matrix} | = - 7 \Rightarrow r a n g o (M^{'}) = 3$

Por tanto existen planos secantes, determinamos si existen planos paralelos:

$\frac{1}{2} \neq \frac{3}{- 1} \Rightarrow π_{1} y π_{2} no son paralelos$

$\frac{1}{2} = \frac{3}{6} = \frac{- 5}{- 10} \neq \frac{3}{7} \Rightarrow π_{1} y π_{3} son paralelos$

Por tanto los planos $π_{1}$ y $π_{3}$ son paralelos y secantes al plano $π_{2}$

Solución:

Los planos $π_{1}$ y $π_{3}$ son paralelos y secantes al plano $π_{2}$

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