Posicions relatives recta i pla

Per determinar les posicions relatives d'una recta $r (A^{'}; \vec{v})$ i un pla $π (P; \vec{u}, \vec{v})$ , expressem la recta mitjançant les seves equacions implícites i el pla amb la seva equació general:

$r : {\begin{array}{rcl} A_{1} x + B_{1} y + C_{1} z + D_{1} & = & 0 \\ A_{2} x + B_{2} y + C_{2} z + D_{2} & = & 0 \end{array} π : A x + B y + C z + D = 0$

A continuació considerem el sistema format per les tres equacions i escrivim la matriu $M$ i la matriu ampliada $M^{'}$ associades a aquest sistema:

$M = (\begin{matrix} A & B & C \\ A_{1} & B_{1} & C_{1} \\ A_{2} & B_{2} & C_{2} \end{matrix})$

$M^{'} = (\begin{matrix} A & B & C & - D \\ A_{1} & B_{1} & C_{1} & - D_{1} \\ A_{2} & B_{2} & C_{2} & - D_{2} \end{matrix})$

Segons la compatibilitat del sistema tindrem una posició relativa o una altra:

Sistema Compatible

Determinat

$r a n g (M) = r a n g (M^{'}) = 3$

Sistema Compatible determinat. La recta i el pla són secants.

Indeterminat

$r a n g (M) = r a n g (M^{'}) = 2$

Sistema compatible indeterminat. Les solucions depenen d'un paràmetre. La recta està continguda en el pla.

Sistema Incompatible:

$r a n g (M) = 2 \neq r a n g (M^{'}) = 3$

Sistema incompatible. La recta i el pla són paral·lels.

Exemple

Determina la posició relativa de la recta $r : (x, y, z) = (2, - 1, 0) + k \cdot (1, 2, 1)$ i el pla $π : (x, y, z) = (5, 0, 0) + l \cdot (3, 0, 1) + m \cdot (4, - 1, 1)$

Comencem considerant la matriu les columnes són les components dels tres vectors directors (2 del pla i 1 de la recta) i trobem el seu rang:

$| M | = | \begin{matrix} 1 & 3 & 4 \\ 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix} | = 0$

Per tant $r a n g (M) = 2$ , i la recta estarà continguda o serà paral·lela al pla.

Per veure en quin cas estem, podem agafar un punt de la recta $P$ i mirar si pertany al pla $π$ .

$P = (2, - 1, 0)$

Substituïm a $π$ :

$\begin{array}{rcl} 2 & = & 5 + 3 \cdot l + 4 \cdot m \\ - 1 & = & - m \\ 0 & = & l + m \end{array}$

Per tant $m = 1, l = - 1$ , i veiem que el punt no ho compleix.

Així, la recta i el pla són paral·lels.