Les equacions implícites de les rectes i les generals dels plans són equacions lineals. Per aquest motiu, podem determinar la posició relativa de les rectes i els plans en l'espai a partir de l'estudi de la compatibilitat dels sistemes d'equacions lineals corresponents.
Vegem quines posicions relatives poden presentar dues rectes $$r (A;\overrightarrow{v})$$ i $$r'(A';\overrightarrow{v'})$$, donades per les seves respectives equacions implícites:
$$$r:\left\{ \begin{array}{rcl} A_1x+B_1y+C_1z+D_1&=&0 \\ A_2x+B_2y+C_2z+D_2&=&0 \end{array}\right. \\ r':\left\{ \begin{array}{rcl} A_3x+B_3y+C_3z+D_3&=&0 \\ A_4x+B_4y+C_4z+D_4&=&0 \end{array}\right.$$$
Per trobar les posicions relatives entre les rectes, considerem el sistema format per les quatre equacions, les matrius $$M$$ i $$M'$$ (ampliada) són:
$$$M=\begin{pmatrix} A_1 & B_1 & C_1 \\ A_2 & B_2 & C_2 \\ A_3 & B_3 &C_3 \\ A_4 & B_4 & C_4\end{pmatrix} \qquad M'=\begin{pmatrix} A_1 & B_1 & C_1 & -D_1 \\ A_2 & B_2 & C_2 & -D_2 \\ A_3 & B_3 &C_3 & -D_3 \\ A_4 & B_4 & C_4 & -D_4\end{pmatrix}$$$
Segons el rang d'aquestes matrius, determinarem la compatibilitat dels sistemes, i amb això la posició relativa de les rectes:
Sistema Compatible
Determinat
$$rang(M) = rang(M') = 3$$
Sistema Compatible determinat. Les rectes són secants, és a dir, es tallen en un punt.
Indeterminat
$$rang(M) = rang (M') = 2$$
Sistema compatible indeterminat les solucions depenen d'un paràmetre. Les rectes són coincidents.
Sistema Incompatible:
$$rang (M) = 2$$; $$rang (M') = 3$$
Sistema incompatible. Les dues rectes són paral·leles.
$$rang (M) = 3$$; $$rang (M') = 4$$
Sistema incompatible. Les dues rectes es creuen.
Determineu la posició relativa de les següents rectes:
$$$r:\left\{ \begin{array}{rcl} 7x+5y-7z-12 & = & 0 \\2x+3z+11 & = & 0 \end{array}\right. \qquad r':\left\{ \begin{array}{rcl} 5x-5y-z-16 & = & 0\\3x-2y-7 & = & 0 \end{array}\right.$$$
Les matrius del sistema format per les quatre equacions són:
$$$M=\begin{pmatrix} 7 & 5 & -7\\ 2 & 0 & 3 \\ 5& -5 &-1\\ 3& -2 &0\end{pmatrix} \qquad M'=\begin{pmatrix} 7&5&-7 &12\\ 2 & 0 & 3 &-11\\ 5& -5 &-1&16 \\ 3& -2 & 0 &7 \end{pmatrix}$$$
I si calculem els rangs d'aquestes matrius tenim:
$$$\left|\begin{matrix}7&5&-7\\ 2 & 0 & 3 \\ 5& -5 &-1\\ 3& -2 &0\end{matrix}\right|=260 \neq 0 \Rightarrow \mbox{ rang }(M)=3 \\ \\ \left|\begin{matrix}7&5&-7 &12\\ 2 & 0 & 3 &-11\\ 5& -5 &-1&16 \\ 3& -2 & 0 &7 \end{matrix}\right|=552 \neq 0 \Rightarrow \mbox{ rang }(M')=4$$$
Per tant les rectes es creuen.
La posició relativa de dues rectes també pot ser determinada des d'un punt de vista més geomètric i no tan algebraic a partir dels seus respectius vectors directors.
Vectors directors linealment independents: Les rectes es tallen o es creuen
Per veure quin és el cas, crearem un tercer vector a partir d'un punt d'una recta i un altre punt de l'altra. Si aquest vector és linealment dependent amb els vectors directors de les rectes, llavors les rectes es tallen. Si no, es creuen.
Vectors directors linealment dependents: Les rectes són paral·leles o coincidents
Per veure en quin cas estem buscarem un punt d'una de les rectes i substituirem en l'altra. Si pertany a ella, les rectes són coincidents. Si no pertany a les dues rectes, llavors són paral·leles.