Posició relativa de dues rectes

Les equacions implícites de les rectes i les generals dels plans són equacions lineals. Per aquest motiu, podem determinar la posició relativa de les rectes i els plans en l'espai a partir de l'estudi de la compatibilitat dels sistemes d'equacions lineals corresponents.

Vegem quines posicions relatives poden presentar dues rectes $r (A; \vec{v})$ i $r^{'} (A^{'}; \vec{v^{'}})$ , donades per les seves respectives equacions implícites:

$r : {\begin{array}{rcl} A_{1} x + B_{1} y + C_{1} z + D_{1} & = & 0 \\ A_{2} x + B_{2} y + C_{2} z + D_{2} & = & 0 \end{array} r^{'} : {\begin{array}{rcl} A_{3} x + B_{3} y + C_{3} z + D_{3} & = & 0 \\ A_{4} x + B_{4} y + C_{4} z + D_{4} & = & 0 \end{array}$

Per trobar les posicions relatives entre les rectes, considerem el sistema format per les quatre equacions, les matrius $M$ i $M^{'}$ (ampliada) són:

$M = (\begin{matrix} A_{1} & B_{1} & C_{1} \\ A_{2} & B_{2} & C_{2} \\ A_{3} & B_{3} & C_{3} \\ A_{4} & B_{4} & C_{4} \end{matrix}) M^{'} = (\begin{matrix} A_{1} & B_{1} & C_{1} & - D_{1} \\ A_{2} & B_{2} & C_{2} & - D_{2} \\ A_{3} & B_{3} & C_{3} & - D_{3} \\ A_{4} & B_{4} & C_{4} & - D_{4} \end{matrix})$

Segons el rang d'aquestes matrius, determinarem la compatibilitat dels sistemes, i amb això la posició relativa de les rectes:

Sistema Compatible

Determinat

$r a n g (M) = r a n g (M^{'}) = 3$

Sistema Compatible determinat. Les rectes són secants, és a dir, es tallen en un punt.

Indeterminat

$r a n g (M) = r a n g (M^{'}) = 2$

Sistema compatible indeterminat les solucions depenen d'un paràmetre. Les rectes són coincidents.

Sistema Incompatible:

$r a n g (M) = 2$ ; $r a n g (M^{'}) = 3$

Sistema incompatible. Les dues rectes són paral·leles.

$r a n g (M) = 3$ ; $r a n g (M^{'}) = 4$

Sistema incompatible. Les dues rectes es creuen.

Exemple

Determineu la posició relativa de les següents rectes:

$r : {\begin{array}{rcl} 7 x + 5 y - 7 z - 12 & = & 0 \\ 2 x + 3 z + 11 & = & 0 \end{array} r^{'} : {\begin{array}{rcl} 5 x - 5 y - z - 16 & = & 0 \\ 3 x - 2 y - 7 & = & 0 \end{array}$

Les matrius del sistema format per les quatre equacions són:

$M = (\begin{matrix} 7 & 5 & - 7 \\ 2 & 0 & 3 \\ 5 & - 5 & - 1 \\ 3 & - 2 & 0 \end{matrix}) M^{'} = (\begin{matrix} 7 & 5 & - 7 & 12 \\ 2 & 0 & 3 & - 11 \\ 5 & - 5 & - 1 & 16 \\ 3 & - 2 & 0 & 7 \end{matrix})$

I si calculem els rangs d'aquestes matrius tenim:

$| \begin{matrix} 7 & 5 & - 7 \\ 2 & 0 & 3 \\ 5 & - 5 & - 1 \\ 3 & - 2 & 0 \end{matrix} | = 260 \neq 0 \Rightarrow rang (M) = 3 | \begin{matrix} 7 & 5 & - 7 & 12 \\ 2 & 0 & 3 & - 11 \\ 5 & - 5 & - 1 & 16 \\ 3 & - 2 & 0 & 7 \end{matrix} | = 552 \neq 0 \Rightarrow rang (M^{'}) = 4$

Per tant les rectes es creuen.

La posició relativa de dues rectes també pot ser determinada des d'un punt de vista més geomètric i no tan algebraic a partir dels seus respectius vectors directors.

Vectors directors linealment independents: Les rectes es tallen o es creuen

Per veure quin és el cas, crearem un tercer vector a partir d'un punt d'una recta i un altre punt de l'altra. Si aquest vector és linealment dependent amb els vectors directors de les rectes, llavors les rectes es tallen. Si no, es creuen.

Vectors directors linealment dependents: Les rectes són paral·leles o coincidents

Per veure en quin cas estem buscarem un punt d'una de les rectes i substituirem en l'altra. Si pertany a ella, les rectes són coincidents. Si no pertany a les dues rectes, llavors són paral·leles.