Producte d'un nombre real per un vector

El producte d'un nombre real $\lambda$ per un vector $\overrightarrow{u}$ és un altre vector $\lambda \overrightarrow{u}$ que té:

• La mateixa direcció que $\overrightarrow{u}$.
• El seu mòdul és igual al mòdul de $\overrightarrow{u}$ pel valor absolut de $\lambda$. $$|\lambda \overrightarrow{u}|=|\lambda |\cdot |\overrightarrow{u}|$$
• Té el mateix sentit que $\overrightarrow{u}$ si $\lambda >0$ i l'oposat si $\lambda <0$. Del que es dedueix que si $\lambda =0$ o si $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{0}$, llavors $\lambda \overrightarrow{u}=\overrightarrow{0}$.

Per obtenir les components del vector $\lambda \overrightarrow{u}$ n'hi ha prou amb multiplicar per $\lambda$ les components de $\overrightarrow{u}$. Si $\overrightarrow{u}=(x_1,y_1)$: $$\lambda \overrightarrow{u}=\lambda \cdot (x_1,y_1)=(\lambda \cdot x_1,\lambda \cdot y_1)$$

Propietats del producte de nombres reals per un vector:

1. $\lambda (\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v})=\lambda \overrightarrow{u}+\lambda \overrightarrow{v}$
2. $(\lambda +\mu )\overrightarrow{u}=\lambda \overrightarrow{u}+\mu \overrightarrow{u}$
3. $\lambda (\mu \overrightarrow{u})=(\lambda \mu )\overrightarrow{u}$
4. $1\cdot \overrightarrow{u}=\overrightarrow{u}$