Producte d'un nombre real per un vector

El producte d'un nombre real $$\lambda$$ per un vector $$\vec{u}$$ és un altre vector $$\lambda\vec{u}$$ que té:

• La mateixa direcció que $$\vec{u}$$.
• El seu mòdul és igual al mòdul de $$\vec{u}$$ pel valor absolut de $$\lambda$$. $$$ |\lambda\vec{u}|=|\lambda|\cdot|\vec{u}|$$$
• Té el mateix sentit que $$\vec{u}$$ si $$\lambda>0$$ i l'oposat si $$\lambda<0$$. Del que es dedueix que si $$\lambda=0$$ o si $$\vec{u}=\vec{0}$$, llavors $$\lambda\vec{u}=\vec{0}$$.

Per obtenir les components del vector $$\lambda\vec{u}$$ n'hi ha prou amb multiplicar per $$\lambda$$ les components de $$\vec{u}$$. Si $$\vec{u}=(x_1,y_1)$$: $$$ \lambda\vec{u}=\lambda\cdot(x_1,y_1)=(\lambda\cdot x_1,\lambda\cdot y_1)$$$

Propietats del producte de nombres reals per un vector:

1. $$\lambda(\vec{u}+\vec{v})=\lambda\vec{u}+\lambda\vec{v}$$
2. $$(\lambda+\mu)\vec{u}=\lambda\vec{u}+\mu\vec{u}$$
3. $$\lambda(\mu\vec{u})=(\lambda\mu)\vec{u}$$
4. $$1\cdot\vec{u}=\vec{u}$$