Producto de un número real por un vector

El producto de un número real $\lambda$ por un vector $\overrightarrow{u}$ es otro vector $\lambda \overrightarrow{u}$ que tiene:

• La misma dirección que $\overrightarrow{u}$.
• Su módulo es igual al módulo de $\overrightarrow{u}$ por el valor absoluto de $\lambda$. $$|\lambda \overrightarrow{u}|=|\lambda |\cdot |\overrightarrow{u}|$$
• Tiene el mismo sentido que $\overrightarrow{u}$ si $\lambda >0$ y el opuesto si $\lambda <0$. De lo que se deduce que si $\lambda =0$ o si $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{0}$, entonces $\lambda \overrightarrow{u}=\overrightarrow{0}$.

Para obtener las componentes del vector $\lambda \overrightarrow{u}$ basta multiplicar por $\lambda$ las componentes de $\overrightarrow{u}$. Si $\overrightarrow{u}=(x_1,y_1)$: $$\lambda \overrightarrow{u}=\lambda \cdot (x_1,y_1)=(\lambda \cdot x_1,\lambda \cdot y_1)$$

Propiedades del producto de números reales por un vector:

1. $\lambda (\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v})=\lambda \overrightarrow{u}+\lambda \overrightarrow{v}$
2. $(\lambda +\mu )\overrightarrow{u}=\lambda \overrightarrow{u}+\mu \overrightarrow{u}$
3. $\lambda (\mu \overrightarrow{u})=(\lambda \mu )\overrightarrow{u}$
4. $1\cdot \overrightarrow{u}=\overrightarrow{u}$