Suma y resta de vectores

Suma de dos vectores libres $\overrightarrow{u}$ y $\overrightarrow{v}$. La suma de estos dos vectores libres es otro vector libre $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}$, que se obtiene de la siguiente forma:

Se escogen como representantes dos vectores tales que el extremo de uno coincida con el origen del otro vector. El vector suma tendrá como origen el origen de $\overrightarrow{u}$ y como extremo el extremo de $\overrightarrow{v}$.

Otra manera de sumar dos vectores libres es mediante la regla del paralelogramo: Se toman como representantes dos vectores con el origen en común, se trazan rectas paralelas a los vectores obteniéndose un paralelogramo cuya diagonal coincide con la suma de los vectores.

Para sumar dos vectores, basta sumar sus respectivas componentes, si $\overrightarrow{u}=(x_1,y_1)$ y $\overrightarrow{v}=(x_2,y_2)$: $$\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=(x_1+x_2,y_1+y_2)$$

Para restar dos vectores libres $\overrightarrow{u}=(x_1,y_1)$ y $\overrightarrow{v}=(x_2,y_2)$, es decir, $\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}$, se suma $\overrightarrow{u}$ con el opuesto de $\overrightarrow{v}=(x_2,y_2)$, que seria $-\overrightarrow{v}$.

Propiedades de la suma:

1. Asociativa: $\overrightarrow{u}+(\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w})=(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v})+\overrightarrow{w}$.
2. Commutativa: $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}$.
3. Elemento neutro: $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}+\overrightarrow{u}=\overrightarrow{u}$.
4. Elemento simétrico (opuesto): $\overrightarrow{u}+(-\overrightarrow{u})=(-\overrightarrow{u})+\overrightarrow{u}=\overrightarrow{0}$.