Suma i resta de vectors

La suma de dos vectors lliures $\overrightarrow{u}$ i $\overrightarrow{v}$ és un altre vector lliure $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}$, que s'obté de la següent manera:

Es trien com a representants dos vectors tals que l'extrem d'un coincideixi amb l'origen de l'altre vector. El vector suma tindrà com a origen l'origen de $\overrightarrow{u}$ i com a extrem, l'extrem de $\overrightarrow{v}$.

Una altra manera de sumar dos vectors lliures és mitjançant la regla del paral·lelogram: Es prenen com a representants dos vectors amb l'origen en comú, es tracen rectes paral·leles als vectors obtenint-se un paral·lelogram la diagonal del qual coincideix amb la suma dels vectors.

Per sumar dos vectors, només cal sumar els seus respectives components, si $\overrightarrow{u}=(x_1,y_1)$ i $\overrightarrow{v}=(x_2,y_2)$: $$\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=(x_1+x_2,y_1+y_2)$$

Per restar dos vectors lliures $\overrightarrow{u}=(x_1,y_1)$ i $\overrightarrow{v}=(x_2,y_2)$, és a dir, $\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}$, se suma $\overrightarrow{u}$ amb l'oposat de $\overrightarrow{v}=(x_2,y_2)$, que seria $-\overrightarrow{v}$.

Propietats de la suma:

1. Associativa: $\overrightarrow{u}+(\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w})=(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v})+\overrightarrow{w}$.
2. Commutativa: $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}$.
3. Element neutre: $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}+\overrightarrow{u}=\overrightarrow{u}$.
4. Element simètric (oposat): $\overrightarrow{u}+(-\overrightarrow{u})=(-\overrightarrow{u})+\overrightarrow{u}=\overrightarrow{0}$.