Exercicis de Quocient de polinomis

Considerant els següents polinomis:

$$p(x)=-x^3+x$$

$$q(x)=2x^3-x-3$$

$$r(x)=-x+1$$

Realitza l'operació següent: $$(r(x)+q(x))\cdot p(x)$$

Veure desenvolupament i solució

Desenvolupament:

Primer realitzem la suma,

  r(x) q(x) r(x)+q(x)
grau 0 $$1$$ $$-3$$ $$-2$$
grau 1 $$-x$$ $$-x$$ $$-2x$$
grau 2 $$0$$ $$0$$ $$0$$
grau 3 $$0$$ $$2x^3$$ $$2x^3$$

$$r(x)+q(x)=2x^3-2x-2$$

I ara el producte pels monomis de $$p(x)$$,

$$x\cdot(r(x)+q(x))=x\cdot(2x^3-2x-2)=2x^4-2x^2-2x$$

$$-x^3\cdot(r(x)+q(x))=-x^3\cdot(2x^3-2x-2)=-x^6+2x^4+2x^3$$

Solució:

Ajuntem els dos polinomis i agrupem els termes semblants:

$$(r(x)+q(x))\cdot p(x)=(2x^4-2x^2-2x)+(-x^6+2x^4+2x^3)=$$

$$=-x^6+4x^4+2x^3-2x^2-2x$$

Amagar desenvolupament i solució

Realitzar la següent divisió de polinomis $$\dfrac{x^4-2x+3}{x^2-2}$$

Veure desenvolupament i solució

Desenvolupament:

Completem i iniciem la taula

$$x^4$$ $$0$$ $$0$$ $$-2x$$ $$3$$ $$x^2-2$$

Iteració 1:

$$\dfrac{x^4}{x^2}=x^2$$

$$x^2\cdot(x^2-2)=x^4-2x^2$$

$$x^4$$ $$0$$ $$0$$ $$-2x$$ $$3$$ $$x^2-2$$
$$-x^4$$ $$0$$ $$+2x^2$$ $$0$$ $$0$$ $$x^2$$
$$0$$ $$0$$ $$+2x^2$$ $$-2x$$ $$3$$  

Iteració 2:

$$\dfrac{2x^2}{x^2}=2$$

$$2\cdot(x^2-2)=2x^2-4$$

$$x^4$$ $$0$$ $$0$$ $$-2x$$ $$3$$ $$x^2-2$$
$$-x^4$$ $$0$$ $$+2x^2$$ $$0$$ $$0$$ $$x^2+2$$
$$0$$ $$0$$ $$+2x^2$$ $$-2x$$ $$3$$  
    $$-2x^2$$ $$0$$ $$+4$$  
    $$0$$ $$-2x$$ $$7$$  

Fi del procés, ja que:

grau$$(-2x+7)=1 < 2=$$grau$$(x^2-2)$$

Solució:

Quocient: $$x^2+2$$

Residu: $$-2x+7$$

Amagar desenvolupament i solució
Veure teoria