Quocient de polinomis

A continuació explicarem un mètode per dividir polinomis d'una variable. Utilitzarem un exemple per il·lustrar el procediment:

Considerem,

$$p(x)=x^5-3x^3+2x-1$$

$$q(x)=x^2-1-2x$$

Calculeu el quocient $$\dfrac{p(x)}{q(x)}$$.

1) Completar i ordenar els dos polinomis.

En el nostre cas,

$$p(x)=x^5+0x^4-3x^3+0x^2+2x-1$$

$$q(x)=x^2-2x-1$$

2) Escriure els polinomis com si ens disposéssim a realitzar una divisió tradicional de dues xifres (a l'esquerra el dividend, a la dreta el divisor). Considerem que cada monomi sigui una xifra.

Aquí utilitzarem la següent taula:

$$x^5$$ $$0$$ $$-3x^3$$ $$0$$ $$2x$$ $$-1$$ $$x^2-2x-1$$

3) Dividir el primer monomi del dividend pel primer monomi del divisor.

En el nostre cas: $$\dfrac{x^5}{x^2}=x^3$$

4) Multiplicar el resultat anterior per cada monomi del polinomi divisor i restar el resultat al polinomi dividend.

El producte és $$x^3\cdot q(x)=x^3(x^2-2x-1)=x^5-2x^4-x^3$$

I ho restem al dividend. A continuació l'esquematitzem en el quadre:

$$x^5$$ $$0$$ $$-3x^3$$ $$0$$ $$2x$$ $$-1$$ $$x^2-2x-1$$
$$-x^5$$ $$+2x^4$$ $$+x^3$$ $$0$$ $$0$$ $$0$$ $$x^3$$
$$0$$ $$+2x^4$$ $$-2x^3$$ $$0$$ $$2x$$ $$-1$$  

El resultat de la resta es mostra a la tercera fila. Anotem el resultat de la divisió de monomis anterior a sota del divisor: serà el nostre quocient.

Fixem-nos que a la casella corresponent al grau del polinomi que hem dividit, en aquest cas $$5$$, apareix un $$0$$. A cada pas, això sempre ha de passar.

5) Realitzem els passos $$3$$ i $$4$$ fins que el grau del polinomi a dividir sigui menor que el grau del polinomi divisor.

Fem una altra iteració: $$\dfrac{2x^4}{x^2}=2x^2$$

$$2x^2(x^2-2x-1)=2x^4-4x^3-2x^2$$

$$x^5$$ $$0$$ $$-3x^3$$ $$0$$ $$2x$$ $$-1$$ $$x^2-2x-1$$
$$-x^5$$ $$+2x^4$$ $$+x^3$$ $$0$$ $$0$$ $$0$$ $$x^3+2x^2$$
$$0$$ $$+2x^4$$ $$-2x^3$$ $$0$$ $$2x$$ $$-1$$  
  $$-2x^4$$ $$4x^3$$ $$2x^2$$ $$0$$ $$0$$  
  $$0$$ $$2x^3$$ $$2x^2$$ $$2x$$ $$-1$$  

Efectivament, tenim un $$0$$ en el monomi de grau $$4$$. Així doncs, prosseguim amb una altra iteració:

$$\dfrac{2x^3}{x^2}=2x$$

$$2x(x^2-2x-1)=2x^3-4x^2-2x$$

$$x^5$$ $$0$$ $$-3x^3$$ $$0$$ $$2x$$ $$-1$$ $$x^2-2x-1$$
$$-x^5$$ $$+2x^4$$ $$+x^3$$ $$0$$ $$0$$ $$0$$ $$x^3+2x^2+2x$$
$$0$$ $$+2x^4$$ $$-2x^3$$ $$0$$ $$2x$$ $$-1$$  
  $$-2x^4$$ $$4x^3$$ $$2x^2$$ $$0$$ $$0$$  
  $$0$$ $$2x^3$$ $$2x^2$$ $$2x$$ $$-1$$  
    $$-2x^3$$ $$+4x^2$$ $$+2x$$ $$0$$  
    $$0$$ $$6x^2$$ $$4x$$ $$-1$$  

Tornem a veure que apareix un $$0$$ en el monomi de grau $$3$$. Realitzem una altra iteració:

$$\dfrac{6x^2}{x^2}=6$$

$$6(x^2-2x-1)=6x^2-12x-6$$

$$x^5$$ $$0$$ $$-3x^3$$ $$0$$ $$2x$$ $$-1$$ $$x^2-2x-1$$
$$-x^5$$ $$+2x^4$$ $$+x^3$$ $$0$$ $$0$$ $$0$$ $$x^3+2x^2+2x+6$$
$$0$$ $$+2x^4$$ $$-2x^3$$ $$0$$ $$2x$$ $$-1$$  
  $$-2x^4$$ $$+4x^3$$ $$+2x^2$$ $$0$$ $$0$$  
  $$0$$ $$2x^3$$ $$2x^2$$ $$2x$$ $$-1$$  
    $$-2x^3$$ $$+4x^2$$ $$+2x$$ $$0$$  
    $$0$$ $$6x^2$$ $$4x$$ $$-1$$  
      $$-6x^2$$ $$+12x$$ $$+6$$  
      $$0$$ $$16x$$ $$+5$$  

Efectivament, torna a aparèixer un $$0$$ en el monomi de grau $$2$$. Arribat aquest punt, el polinomi que volem dividir té grau $$1$$, que és menor que el grau del divisor, que és $$2$$. En aquest moment, donem per finalitzada la divisió. Llavors:

  • El quocient serà el polinomi que queda just sota del divisor: $$x^3+2x^2+2x+6$$

  • El residu serà el polinomi que queda al final, el grau serà sempre inferior al del divisor: $$16x+5$$

COMPROVACIÓ

Per comprovar si hem realitzat correctament la divisió, calcularem: $$$\mbox{quocient}\times\mbox{divisor}+\mbox{residu}$$$ i el resultat, en cas d'haver realitzat correctament l'operació, seria el dividend.

Així doncs, en el cas anterior: $$$(x^3+2x^2+2x+6)\cdot(x^2-2x-1)+(16x+5)$$$

Realitzem la multiplicació:

$$x^3\cdot(x^2-2x-1)=x^5-2x^4-x^3$$

$$2x^2\cdot(x^2-2x-1)=2x^4-4x^3-2x^2$$

$$2x\cdot(x^2-2x-1)=2x^3-4x^2-2x$$

$$6\cdot(x^2-2x-1)=6x^2-12x-6$$

Ara els sumem

$$(x^5-2x^4-x^3)+(2x^4-4x^3-2x^2)+(2x^3-4x^2-2x)+$$

$$+(6x^2-12x-6)=x^5-3x^3-14x-6$$

I si sumem el residu, obtenim:

$$(x^5-3x^3-14x-6)+(16x+5)=x^5-3x^3+2x-1$$

que efectivament coincideix amb el dividend.

Referent als graus dels polinomis resultants, es comprova que:

grau(quocient)=grau(dividend)-grau(divisor)

grau(residu)

Calculeu el quocient $$3$$ con $$x^3+2x^2+2x+6$$ i $$x^5-3x^3+2x-1$$.

  1. Completem i ordenem

$$x^2-2x-1$$

$$5-2=3$$

  1. Iniciem la taula
$$16x+5)=1 < 2=$$ $$x^2-2x-1$$ $$\dfrac{p(x)}{q(x)}$$ $$p(x)=1-x^3$$ $$q(x)=x+2$$

Iteració 1 $$p(x)=-x^3+0x^2+0x+1$$ $$q(x)=x+2$$

$$-x^3$$ $$0$$ $$0$$ $$1$$ $$x+2$$
$$$\dfrac{-x^3}{x}=-x^2$$$ $$$-x^2(x+2)=-x^3-2x^2$$$ $$-x^3$$ $$0$$ $$0$$
$$1$$ $$x+2$$ $$+x^3$$ $$+2x^2$$  

Iteració 2 $$0$$ $$0$$

$$-x^2$$ $$0$$ $$+2x^2$$ $$0$$ $$1$$
$$$\dfrac{2x^2}{x}=2x$$$ $$$2x(x+2)=2x^2+4x$$$ $$-x^3$$ $$0$$ $$0$$
$$1$$ $$x+2$$ $$+x^3$$ $$+2x^2$$  
  $$0$$ $$0$$ $$-x^2+2x$$  
  $$0$$ $$+2x^2$$ $$0$$  

Iteració 3 $$1$$ $$-2x^2$$

$$-4x$$ $$0$$ $$0$$ $$-4x$$ $$1$$
$$$\dfrac{-4x}{x}=-4$$$ $$$-4(x+2)=-4x-8$$$ $$-x^3$$ $$0$$ $$0$$
$$1$$ $$x+2$$ $$+x^3$$ $$+2x^2$$  
  $$0$$ $$0$$ $$-x^2+2x-4$$  
  $$0$$ $$+2x^2$$ $$0$$  
    $$1$$ $$-2x^2$$  
    $$-4x$$ $$0$$  

I veiem que

grau$$0$$grau$$-4x$$

Per tant, el procés s'acaba. Realitzem la pertinent comprovació:

$$1$$

Realitzem la multiplicació:

$$+4x$$

$$+8$$

$$0$$

Ara els sumem

$$9$$

I sumant el residu, obtenim el dividend:

$$(9)=0 < 1=$$

Pel que fa als graus, es compleix:

$$(x+2)$$

grau$$(-x^2+2x-4)(x+2)+(9)$$grau$$-x^2\cdot(x+2)=-x^3-2x^2$$