Quocient de polinomis

A continuació explicarem un mètode per dividir polinomis d'una variable. Utilitzarem un exemple per il·lustrar el procediment:

Exemple

Considerem,

$p (x) = x^{5} - 3 x^{3} + 2 x - 1$

$q (x) = x^{2} - 1 - 2 x$

Calculeu el quocient $\frac{p (x)}{q (x)}$ .

1) Completar i ordenar els dos polinomis.

En el nostre cas,

$p (x) = x^{5} + 0 x^{4} - 3 x^{3} + 0 x^{2} + 2 x - 1$

$q (x) = x^{2} - 2 x - 1$

2) Escriure els polinomis com si ens disposéssim a realitzar una divisió tradicional de dues xifres (a l'esquerra el dividend, a la dreta el divisor). Considerem que cada monomi sigui una xifra.

Aquí utilitzarem la següent taula:

x^{5}

0

- 3 x^{3}

0

2 x

- 1

x^{2} - 2 x - 1

3) Dividir el primer monomi del dividend pel primer monomi del divisor.

En el nostre cas: $\frac{x^{5}}{x^{2}} = x^{3}$

4) Multiplicar el resultat anterior per cada monomi del polinomi divisor i restar el resultat al polinomi dividend.

El producte és $x^{3} \cdot q (x) = x^{3} (x^{2} - 2 x - 1) = x^{5} - 2 x^{4} - x^{3}$

I ho restem al dividend. A continuació l'esquematitzem en el quadre:

$x^{5}$	$0$	$- 3 x^{3}$	$0$	$2 x$	$- 1$	$x^{2} - 2 x - 1$
$- x^{5}$	$+ 2 x^{4}$	$+ x^{3}$	$0$	$0$	$0$	$x^{3}$
$0$	$+ 2 x^{4}$	$- 2 x^{3}$	$0$	$2 x$	$- 1$

El resultat de la resta es mostra a la tercera fila. Anotem el resultat de la divisió de monomis anterior a sota del divisor: serà el nostre quocient.

Fixem-nos que a la casella corresponent al grau del polinomi que hem dividit, en aquest cas $5$ , apareix un $0$ . A cada pas, això sempre ha de passar.

5) Realitzem els passos $3$ i $4$ fins que el grau del polinomi a dividir sigui menor que el grau del polinomi divisor.

Fem una altra iteració: $\frac{2 x^{4}}{x^{2}} = 2 x^{2}$

$2 x^{2} (x^{2} - 2 x - 1) = 2 x^{4} - 4 x^{3} - 2 x^{2}$

$x^{5}$	$0$	$- 3 x^{3}$	$0$	$2 x$	$- 1$	$x^{2} - 2 x - 1$
$- x^{5}$	$+ 2 x^{4}$	$+ x^{3}$	$0$	$0$	$0$	$x^{3} + 2 x^{2}$
$0$	$+ 2 x^{4}$	$- 2 x^{3}$	$0$	$2 x$	$- 1$
	$- 2 x^{4}$	$4 x^{3}$	$2 x^{2}$	$0$	$0$
	$0$	$2 x^{3}$	$2 x^{2}$	$2 x$	$- 1$

Efectivament, tenim un $0$ en el monomi de grau $4$ . Així doncs, prosseguim amb una altra iteració:

$\frac{2 x^{3}}{x^{2}} = 2 x$

$2 x (x^{2} - 2 x - 1) = 2 x^{3} - 4 x^{2} - 2 x$

$x^{5}$	$0$	$- 3 x^{3}$	$0$	$2 x$	$- 1$	$x^{2} - 2 x - 1$
$- x^{5}$	$+ 2 x^{4}$	$+ x^{3}$	$0$	$0$	$0$	$x^{3} + 2 x^{2} + 2 x$
$0$	$+ 2 x^{4}$	$- 2 x^{3}$	$0$	$2 x$	$- 1$
	$- 2 x^{4}$	$4 x^{3}$	$2 x^{2}$	$0$	$0$
	$0$	$2 x^{3}$	$2 x^{2}$	$2 x$	$- 1$
		$- 2 x^{3}$	$+ 4 x^{2}$	$+ 2 x$	$0$
		$0$	$6 x^{2}$	$4 x$	$- 1$

Tornem a veure que apareix un $0$ en el monomi de grau $3$ . Realitzem una altra iteració:

$\frac{6 x^{2}}{x^{2}} = 6$

$6 (x^{2} - 2 x - 1) = 6 x^{2} - 12 x - 6$

$x^{5}$	$0$	$- 3 x^{3}$	$0$	$2 x$	$- 1$	$x^{2} - 2 x - 1$
$- x^{5}$	$+ 2 x^{4}$	$+ x^{3}$	$0$	$0$	$0$	$x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + 6$
$0$	$+ 2 x^{4}$	$- 2 x^{3}$	$0$	$2 x$	$- 1$
	$- 2 x^{4}$	$+ 4 x^{3}$	$+ 2 x^{2}$	$0$	$0$
	$0$	$2 x^{3}$	$2 x^{2}$	$2 x$	$- 1$
		$- 2 x^{3}$	$+ 4 x^{2}$	$+ 2 x$	$0$
		$0$	$6 x^{2}$	$4 x$	$- 1$
			$- 6 x^{2}$	$+ 12 x$	$+ 6$
			$0$	$16 x$	$+ 5$

Efectivament, torna a aparèixer un $0$ en el monomi de grau $2$ . Arribat aquest punt, el polinomi que volem dividir té grau $1$ , que és menor que el grau del divisor, que és $2$ . En aquest moment, donem per finalitzada la divisió. Llavors:

El quocient serà el polinomi que queda just sota del divisor: $x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + 6$
El residu serà el polinomi que queda al final, el grau serà sempre inferior al del divisor: $16 x + 5$

COMPROVACIÓ

Per comprovar si hem realitzat correctament la divisió, calcularem: $quocient \times divisor + residu$ i el resultat, en cas d'haver realitzat correctament l'operació, seria el dividend.

Així doncs, en el cas anterior: $(x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + 6) \cdot (x^{2} - 2 x - 1) + (16 x + 5)$

Realitzem la multiplicació:

$x^{3} \cdot (x^{2} - 2 x - 1) = x^{5} - 2 x^{4} - x^{3}$

$2 x^{2} \cdot (x^{2} - 2 x - 1) = 2 x^{4} - 4 x^{3} - 2 x^{2}$

$2 x \cdot (x^{2} - 2 x - 1) = 2 x^{3} - 4 x^{2} - 2 x$

$6 \cdot (x^{2} - 2 x - 1) = 6 x^{2} - 12 x - 6$

Ara els sumem

$(x^{5} - 2 x^{4} - x^{3}) + (2 x^{4} - 4 x^{3} - 2 x^{2}) + (2 x^{3} - 4 x^{2} - 2 x) +$

$+ (6 x^{2} - 12 x - 6) = x^{5} - 3 x^{3} - 14 x - 6$

I si sumem el residu, obtenim:

$(x^{5} - 3 x^{3} - 14 x - 6) + (16 x + 5) = x^{5} - 3 x^{3} + 2 x - 1$

que efectivament coincideix amb el dividend.

Referent als graus dels polinomis resultants, es comprova que:

grau(quocient)=grau(dividend)-grau(divisor)

grau(residu)

Exemple

Calculeu el quocient $3$ con $x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + 6$ i $x^{5} - 3 x^{3} + 2 x - 1$ .

Completem i ordenem

$x^{2} - 2 x - 1$

$5 - 2 = 3$

Iniciem la taula

16 x + 5) = 1 < 2 =

x^{2} - 2 x - 1

\frac{p (x)}{q (x)}

p (x) = 1 - x^{3}

q (x) = x + 2

Iteració 1 $p (x) = - x^{3} + 0 x^{2} + 0 x + 1$ $q (x) = x + 2$

$- x^{3}$	$0$	$0$	$1$	$x + 2$
$\frac{- x^{3}}{x} = - x^{2}$	$- x^{2} (x + 2) = - x^{3} - 2 x^{2}$	$- x^{3}$	$0$	$0$
$1$	$x + 2$	$+ x^{3}$	$+ 2 x^{2}$

Iteració 2 $0$ $0$

$- x^{2}$	$0$	$+ 2 x^{2}$	$0$	$1$
$\frac{2 x^{2}}{x} = 2 x$	$2 x (x + 2) = 2 x^{2} + 4 x$	$- x^{3}$	$0$	$0$
$1$	$x + 2$	$+ x^{3}$	$+ 2 x^{2}$
	$0$	$0$	$- x^{2} + 2 x$
	$0$	$+ 2 x^{2}$	$0$

Iteració 3 $1$ $- 2 x^{2}$

$- 4 x$	$0$	$0$	$- 4 x$	$1$
$\frac{- 4 x}{x} = - 4$	$- 4 (x + 2) = - 4 x - 8$	$- x^{3}$	$0$	$0$
$1$	$x + 2$	$+ x^{3}$	$+ 2 x^{2}$
	$0$	$0$	$- x^{2} + 2 x - 4$
	$0$	$+ 2 x^{2}$	$0$
		$1$	$- 2 x^{2}$
		$- 4 x$	$0$

I veiem que

grau $0$ grau $- 4 x$

Per tant, el procés s'acaba. Realitzem la pertinent comprovació:

$1$

Realitzem la multiplicació:

$+ 4 x$

$+ 8$

$0$

Ara els sumem

$9$

I sumant el residu, obtenim el dividend:

$(9) = 0 < 1 =$

Pel que fa als graus, es compleix:

$(x + 2)$

grau $(- x^{2} + 2 x - 4) (x + 2) + (9)$ grau $- x^{2} \cdot (x + 2) = - x^{3} - 2 x^{2}$