A continuació explicarem un mètode per dividir polinomis d'una variable. Utilitzarem un exemple per il·lustrar el procediment:
Considerem,
$$p(x)=x^5-3x^3+2x-1$$
$$q(x)=x^2-1-2x$$
Calculeu el quocient $$\dfrac{p(x)}{q(x)}$$.
1) Completar i ordenar els dos polinomis.
En el nostre cas,
$$p(x)=x^5+0x^4-3x^3+0x^2+2x-1$$
$$q(x)=x^2-2x-1$$
2) Escriure els polinomis com si ens disposéssim a realitzar una divisió tradicional de dues xifres (a l'esquerra el dividend, a la dreta el divisor). Considerem que cada monomi sigui una xifra.
Aquí utilitzarem la següent taula:
$$x^5$$ | $$0$$ | $$-3x^3$$ | $$0$$ | $$2x$$ | $$-1$$ | $$x^2-2x-1$$ |
3) Dividir el primer monomi del dividend pel primer monomi del divisor.
En el nostre cas: $$\dfrac{x^5}{x^2}=x^3$$
4) Multiplicar el resultat anterior per cada monomi del polinomi divisor i restar el resultat al polinomi dividend.
El producte és $$x^3\cdot q(x)=x^3(x^2-2x-1)=x^5-2x^4-x^3$$
I ho restem al dividend. A continuació l'esquematitzem en el quadre:
$$x^5$$ | $$0$$ | $$-3x^3$$ | $$0$$ | $$2x$$ | $$-1$$ | $$x^2-2x-1$$ |
$$-x^5$$ | $$+2x^4$$ | $$+x^3$$ | $$0$$ | $$0$$ | $$0$$ | $$x^3$$ |
$$0$$ | $$+2x^4$$ | $$-2x^3$$ | $$0$$ | $$2x$$ | $$-1$$ |
El resultat de la resta es mostra a la tercera fila. Anotem el resultat de la divisió de monomis anterior a sota del divisor: serà el nostre quocient.
Fixem-nos que a la casella corresponent al grau del polinomi que hem dividit, en aquest cas $$5$$, apareix un $$0$$. A cada pas, això sempre ha de passar.
5) Realitzem els passos $$3$$ i $$4$$ fins que el grau del polinomi a dividir sigui menor que el grau del polinomi divisor.
Fem una altra iteració: $$\dfrac{2x^4}{x^2}=2x^2$$
$$2x^2(x^2-2x-1)=2x^4-4x^3-2x^2$$
$$x^5$$ | $$0$$ | $$-3x^3$$ | $$0$$ | $$2x$$ | $$-1$$ | $$x^2-2x-1$$ |
$$-x^5$$ | $$+2x^4$$ | $$+x^3$$ | $$0$$ | $$0$$ | $$0$$ | $$x^3+2x^2$$ |
$$0$$ | $$+2x^4$$ | $$-2x^3$$ | $$0$$ | $$2x$$ | $$-1$$ | |
$$-2x^4$$ | $$4x^3$$ | $$2x^2$$ | $$0$$ | $$0$$ | ||
$$0$$ | $$2x^3$$ | $$2x^2$$ | $$2x$$ | $$-1$$ |
Efectivament, tenim un $$0$$ en el monomi de grau $$4$$. Així doncs, prosseguim amb una altra iteració:
$$\dfrac{2x^3}{x^2}=2x$$
$$2x(x^2-2x-1)=2x^3-4x^2-2x$$
$$x^5$$ | $$0$$ | $$-3x^3$$ | $$0$$ | $$2x$$ | $$-1$$ | $$x^2-2x-1$$ |
$$-x^5$$ | $$+2x^4$$ | $$+x^3$$ | $$0$$ | $$0$$ | $$0$$ | $$x^3+2x^2+2x$$ |
$$0$$ | $$+2x^4$$ | $$-2x^3$$ | $$0$$ | $$2x$$ | $$-1$$ | |
$$-2x^4$$ | $$4x^3$$ | $$2x^2$$ | $$0$$ | $$0$$ | ||
$$0$$ | $$2x^3$$ | $$2x^2$$ | $$2x$$ | $$-1$$ | ||
$$-2x^3$$ | $$+4x^2$$ | $$+2x$$ | $$0$$ | |||
$$0$$ | $$6x^2$$ | $$4x$$ | $$-1$$ |
Tornem a veure que apareix un $$0$$ en el monomi de grau $$3$$. Realitzem una altra iteració:
$$\dfrac{6x^2}{x^2}=6$$
$$6(x^2-2x-1)=6x^2-12x-6$$
$$x^5$$ | $$0$$ | $$-3x^3$$ | $$0$$ | $$2x$$ | $$-1$$ | $$x^2-2x-1$$ |
$$-x^5$$ | $$+2x^4$$ | $$+x^3$$ | $$0$$ | $$0$$ | $$0$$ | $$x^3+2x^2+2x+6$$ |
$$0$$ | $$+2x^4$$ | $$-2x^3$$ | $$0$$ | $$2x$$ | $$-1$$ | |
$$-2x^4$$ | $$+4x^3$$ | $$+2x^2$$ | $$0$$ | $$0$$ | ||
$$0$$ | $$2x^3$$ | $$2x^2$$ | $$2x$$ | $$-1$$ | ||
$$-2x^3$$ | $$+4x^2$$ | $$+2x$$ | $$0$$ | |||
$$0$$ | $$6x^2$$ | $$4x$$ | $$-1$$ | |||
$$-6x^2$$ | $$+12x$$ | $$+6$$ | ||||
$$0$$ | $$16x$$ | $$+5$$ |
Efectivament, torna a aparèixer un $$0$$ en el monomi de grau $$2$$. Arribat aquest punt, el polinomi que volem dividir té grau $$1$$, que és menor que el grau del divisor, que és $$2$$. En aquest moment, donem per finalitzada la divisió. Llavors:
-
El quocient serà el polinomi que queda just sota del divisor: $$x^3+2x^2+2x+6$$
- El residu serà el polinomi que queda al final, el grau serà sempre inferior al del divisor: $$16x+5$$
COMPROVACIÓ
Per comprovar si hem realitzat correctament la divisió, calcularem: $$$\mbox{quocient}\times\mbox{divisor}+\mbox{residu}$$$ i el resultat, en cas d'haver realitzat correctament l'operació, seria el dividend.
Així doncs, en el cas anterior: $$$(x^3+2x^2+2x+6)\cdot(x^2-2x-1)+(16x+5)$$$
Realitzem la multiplicació:
$$x^3\cdot(x^2-2x-1)=x^5-2x^4-x^3$$
$$2x^2\cdot(x^2-2x-1)=2x^4-4x^3-2x^2$$
$$2x\cdot(x^2-2x-1)=2x^3-4x^2-2x$$
$$6\cdot(x^2-2x-1)=6x^2-12x-6$$
Ara els sumem
$$(x^5-2x^4-x^3)+(2x^4-4x^3-2x^2)+(2x^3-4x^2-2x)+$$
$$+(6x^2-12x-6)=x^5-3x^3-14x-6$$
I si sumem el residu, obtenim:
$$(x^5-3x^3-14x-6)+(16x+5)=x^5-3x^3+2x-1$$
que efectivament coincideix amb el dividend.
Referent als graus dels polinomis resultants, es comprova que:
grau(quocient)=grau(dividend)-grau(divisor)
grau(residu)
Calculeu el quocient $$3$$ con $$x^3+2x^2+2x+6$$ i $$x^5-3x^3+2x-1$$.
- Completem i ordenem
$$x^2-2x-1$$
$$5-2=3$$
- Iniciem la taula
$$16x+5)=1 < 2=$$ | $$x^2-2x-1$$ | $$\dfrac{p(x)}{q(x)}$$ | $$p(x)=1-x^3$$ | $$q(x)=x+2$$ |
Iteració 1 $$p(x)=-x^3+0x^2+0x+1$$ $$q(x)=x+2$$
$$-x^3$$ | $$0$$ | $$0$$ | $$1$$ | $$x+2$$ |
$$$\dfrac{-x^3}{x}=-x^2$$$ | $$$-x^2(x+2)=-x^3-2x^2$$$ | $$-x^3$$ | $$0$$ | $$0$$ |
$$1$$ | $$x+2$$ | $$+x^3$$ | $$+2x^2$$ |
Iteració 2 $$0$$ $$0$$
$$-x^2$$ | $$0$$ | $$+2x^2$$ | $$0$$ | $$1$$ |
$$$\dfrac{2x^2}{x}=2x$$$ | $$$2x(x+2)=2x^2+4x$$$ | $$-x^3$$ | $$0$$ | $$0$$ |
$$1$$ | $$x+2$$ | $$+x^3$$ | $$+2x^2$$ | |
$$0$$ | $$0$$ | $$-x^2+2x$$ | ||
$$0$$ | $$+2x^2$$ | $$0$$ |
Iteració 3 $$1$$ $$-2x^2$$
$$-4x$$ | $$0$$ | $$0$$ | $$-4x$$ | $$1$$ |
$$$\dfrac{-4x}{x}=-4$$$ | $$$-4(x+2)=-4x-8$$$ | $$-x^3$$ | $$0$$ | $$0$$ |
$$1$$ | $$x+2$$ | $$+x^3$$ | $$+2x^2$$ | |
$$0$$ | $$0$$ | $$-x^2+2x-4$$ | ||
$$0$$ | $$+2x^2$$ | $$0$$ | ||
$$1$$ | $$-2x^2$$ | |||
$$-4x$$ | $$0$$ |
I veiem que
grau$$0$$grau$$-4x$$
Per tant, el procés s'acaba. Realitzem la pertinent comprovació:
$$1$$
Realitzem la multiplicació:
$$+4x$$
$$+8$$
$$0$$
Ara els sumem
$$9$$
I sumant el residu, obtenim el dividend:
$$(9)=0 < 1=$$
Pel que fa als graus, es compleix:
$$(x+2)$$
grau$$(-x^2+2x-4)(x+2)+(9)$$grau$$-x^2\cdot(x+2)=-x^3-2x^2$$