Regla de Ruffini

Per calcular el quocient de dos polinomis s'utilitza un procediment que requereix molts càlculs intermedis. Una regla que ens pot ajudar a simplificar és la regla de Ruffini. Aquesta regla només serà vàlida quan el divisor és un polinomi de la forma $x - a$ , sent $a$ un nombre real.

Utilitzarem un exemple per explicar la metodologia:

Exemple

Realitzar la divisió $\frac{p (x)}{q (x)}$ , sent $p (x) = x^{4} - 3 x^{2} + x + 5$ i $q (x) = x + 2$ .

1) Completar i ordenar el polinomi dividend.

Escriure el polinomi divisor de la forma $x - a$ , si cal.

En el nostre cas:

$p (x) = x^{4} + 0 x^{3} - 3 x^{2} + x + 5$

$q (x) = x - (- 2)$

Fixem-nos que en aquest exemple el valor de $a = - 2$ .

2) Posem els elements en una taula com la següent.

	$1$	$0$	$- 3$	$1$	$5$
$- 2$

A la fila superior, situem els coeficients del polinomi (ordenat i completat!) $p (x)$ .

A la casella esquerra, situem el valor de $a$ .

3) Baixem el primer coeficient, i el multipliquem pel valor de $a$ . El resultat, el posem a sota del segon coeficient:

	$1$	$0$	$- 3$	$1$	$5$
$- 2$		$1 \cdot (- 2) = - 2$
	$1$

4) Sumem la segona columna i baixem el resultat obtingut, repetint el procés fins a l'última columna:

	$1$	$0$	$- 3$	$1$	$5$
$- 2$		$1 \cdot (- 2) = - 2$	$(- 2) \cdot (- 2) = 4$	$1 \cdot (- 2) = - 2$	$(- 1) \cdot (- 2) = 2$
	$1$	$0 + (- 2) = - 2$	$(- 3) + 4 = 1$	$1 + (- 2) = - 1$	$5 + 2 = 7$

5) El dígit de la cantonada inferior dreta és el residu. La resta de dígits de l'última fila són els coeficients, ordenats, del polinomi quocient.

Així doncs, en el nostre cas:

quocient: $x^{3} - 2 x^{2} + x - 1$

residu: $7$

Com veiem, es compleix la relació de graus:

$3 =$ grau $(x^{3} - 2 x^{2} + x - 1) =$ grau $(x^{4} - 3 x^{2} + x + 5) -$ grau $(x + 2) = 4 - 1 = 3$

grau $(7) = 0 < 1 =$ grau $(x + 2)$

Exemple

Realitzar la divisió $\frac{p (x)}{q (x)}$ , sent $p (x) = x^{5} + 2 x^{4} - 3 x^{3} + x^{2} - 1$ i $q (x) = x - 1$ .

1) $p (x) = x^{5} + 2 x^{4} - 3 x^{3} + x^{2} + 0 x - 1$

$q (x) = x - 1$

$a = 1$ .

	$1$	$2$	$- 3$	$1$	$0$	$- 1$
$1$

	$1$	$2$	$- 3$	$1$	$0$	$- 1$
$1$		$1$
	$1$	$3$

	$1$	$2$	$- 3$	$1$	$0$	$- 1$
$1$		$1$	$3$	$0$	$1$	$1$
	$1$	$3$	$0$	$1$	$1$	$0$

quocient: $x^{4} + 3 x^{3} + x + 1$

residu: $0$

I es compleix:

$4 =$ grau $(x^{4} + 3 x^{3} + x + 1) =$ grau $(x^{5} + 2 x^{4} - 3 x^{3} + x^{2} - 1) -$

$-$ grau $(x - 1) = 5 - 1 = 4$

grau $(0) = 0 < 1 =$ grau $(x - 1)$

En aquest exemple, la divisió entre els polinomis és exacta, atès que la resta és $0$ .

Ara introduirem una mica més de dificultat en els exemples:

Exemple

Realitzar la divisió $\frac{p (x)}{q (x)}$ , sent $p (x) = - x^{3} + a x^{2} - x - 3$ i $q (x) = x + 1$ , i imposar el valor del paràmetre $a$ perquè la divisió sigui exacta.

El procediment és el mateix, però haurem de realitzar les multiplicacions i sumes considerant una incògnita. Així, arribat al final, imposarem que la resta sigui $0$ . Així doncs:

$p (x) = - x^{3} + a x^{2} - x - 3$

$q (x) = x - (- 1)$ .

2,3,4)

	$- 1$	$a$	$- 1$	$- 3$
$- 1$		$1$	$- a - 1$	$a + 2$
	$- 1$	$a + 1$	$- a - 2$	$a - 1$

Perquè la divisió sigui exacta:

$a - 1 = 0 \Rightarrow a = 1$

El polinomi quocient és:

quocient: $- x^{2} + 2 x - 3$

residu: $0$