Suma i resta de polinomis

Sumar o restar polinomis equival a sumar o restar els monomis (del polinomi) semblants dos a dos.

Amb un exemple ho veurem millor.

Si volem sumar $$$p(x)=x^2-x+1$$$ i $$$q(x)=3x^2+x-2$$$ agrupem els monomis semblants dos a dos i operem.

Vegem-ho en la taula següent:

  $$p(x)$$ $$q(x)$$ $$p(x)+q(x)$$
grau $$0$$ $$+1$$ $$-2$$ $$-1$$
grau $$1$$ $$-x$$ $$+x$$ $$0$$
grau $$2$$ $$x^2$$ $$3x^2$$ $$4x^2$$

Ara ajuntem els monomis resultants de la suma, i per tant el resultat serà $$$p(x)+q(x)=4x^2-1$$$

En aquest exemple, els polinomis estaven ordenats, però podria ser que no ho estiguessin. Així mateix, podrien no ser polinomis complets, de manera que la casella corresponent al coeficient s'hauria posar un zero.

Així doncs, en general, els passos a seguir per sumar o restar polinomis seran:

  • Ordenar els polinomis, en el cas que no ho estiguin.
  • Sumar o restar els monomis semblants dos a dos.
  • Ajuntar els monomis resultants per generar el polinomi suma o resta.

El grau del polinomi suma o resta és el màxim del grau dels polinomis implicats en l'operació. Això és: $$$\mbox{grau}(p(x)\pm q(x))=\mbox{max}\{\mbox{grau}(p(x)),\mbox{grau}(q(x))\}$$$

Vegem alguns exemples més d'aplicació:

Calcular $$p(x)-q(x)$$, on $$$p(x)=-x-4x^3+x^2$$$ i $$$q(x)=-2+x^2+5x$$$

  1. Ordenem: $$$p(x)=-4x^3+x^2-x$$$ $$$q(x)=x^2+5x-2$$$

  2. Utilitzem la taula per a restar els monomis dos a dos:
  $$p(x)$$ $$q(x)$$ $$p(x)-q(x)$$
grau $$0$$ $$0$$ $$-2$$ $$2$$
grau $$1$$ $$-x$$ $$+5x$$ $$-6x$$
grau $$2$$ $$x^2$$ $$x^2$$ $$0$$
grau $$3$$ $$-4x^3$$ $$0$$ $$-4x^3$$
  1. I el resultat final:

$$p(x)-q(x)=-4x^3-6x+2$$

I efectivament, es compleix:

$$$\mbox{grau}( -4x^3-6x+2 )=\mbox{max}\{\mbox{grau}(-x-4x^3+x^2),\mbox{grau}(-2+x^2+5x)\}=3$$$

Calcular $$p(x)+q(x)$$, on $$$p(x)=x^4-x^3+x^2-2$$$ i $$$q(x)=4x^2+6x-10$$$

  1. Tots dos polinomis ja estan ordenats.

  2. Utilitzem la taula per suma els monomis dos a dos:
  $$p(x)$$ $$q(x)$$ $$p(x)+q(x)$$
grau $$0$$ $$-2$$ $$-10$$ $$-12$$
grau $$1$$ $$0$$ $$6x$$ $$6x$$
grau $$2$$ $$x^2$$ $$4x^2$$ $$5x^2$$
grau $$3$$ $$x^3$$ $$0$$ $$x^3$$
grau $$4$$ $$x^4$$ $$0$$ $$x^4$$
  1. I el resultat final:

$$p(x)+q(x)=x^4+x^3+5x^2+6x-12$$

També es satisfà:

$$$\mbox{grau}(x^4+x^3+5x^2+6x-12)=$$$ $$$=\mbox{max}\{\mbox{grau}(x^4-x^3+x^2-2),\mbox{grau}(4x^2+6x-10)\}=4$$$