Suma y resta de polinomios

Sumar o restar polinomios equivale a sumar o restar los monomios (del polinomio) semejantes dos a dos.

Con un ejemplo lo veremos mejor.

Ejemplo

Si queremos sumar $p (x) = x^{2} - x + 1$ y $q (x) = 3 x^{2} + x - 2$ agrupamos los monomios semejantes dos a dos y operamos.

Veámoslo en la tabla siguiente:

	$p (x)$	$q (x)$	$p (x) + q (x)$
grado $0$	$+ 1$	$- 2$	$- 1$
grado $1$	$- x$	$+ x$	$0$
grado $2$	$x^{2}$	$3 x^{2}$	$4 x^{2}$

Ahora juntamos los monomios resultantes de la suma, y por lo tanto el resultado será $p (x) + q (x) = 4 x^{2} - 1$

En este ejemplo, los polinomios estaban ordenados, pero podría ser que no lo estuvieran. Asimismo, podrían no ser polinomios completos, con lo que la casilla correspondiente al coeficiente se debería poner un cero.

Así pues, en general, los pasos a seguir para sumar o restar polinomios serán:

ordenar los polinomios, si no lo están
sumar o restar los monomios semejantes dos a dos
juntar los monomios resultantes para generar el polinomio suma o resta.

El grado del polinomio suma o resta es el máximo del grado de los polinomios implicados en la operación. Esto es: $grado (p (x) \pm q (x)) = max {grado (p (x)), grado (q (x))}$

Veamos algunos ejemplos más de aplicación:

Ejemplo

Calcular $p (x) - q (x)$ , donde $p (x) = - x - 4 x^{3} + x^{2}$ y $q (x) = - 2 + x^{2} + 5 x$

Ordenamos: $p (x) = - 4 x^{3} + x^{2} - x$ $q (x) = x^{2} + 5 x - 2$
Utilizamos la tabla para restar los monomios dos a dos:

	$p (x)$	$q (x)$	$p (x) - q (x)$
grado $0$	$0$	$- 2$	$2$
grado $1$	$- x$	$+ 5 x$	$- 6 x$
grado $2$	$x^{2}$	$x^{2}$	$0$
grado $3$	$- 4 x^{3}$	$0$	$- 4 x^{3}$

Y el resultado final:

$p (x) - q (x) = - 4 x^{3} - 6 x + 2$

Y efectivamente se cumple:

$grado (- 4 x^{3} - 6 x + 2) = max {grado (- x - 4 x^{3} + x^{2}), grado (- 2 + x^{2} + 5 x)} = 3$

Ejemplo

Calcular $p (x) + q (x)$ , donde $p (x) = x^{4} - x^{3} + x^{2} - 2$ y $q (x) = 4 x^{2} + 6 x - 10$

Ambos polinomios ya están ordenados.
Utilizamos la tabla para sumar los monomios dos a dos:

	$p (x)$	$q (x)$	$p (x) + q (x)$
grado $0$	$- 2$	$- 10$	$- 12$
grado $1$	$0$	$6 x$	$6 x$
grado $2$	$x^{2}$	$4 x^{2}$	$5 x^{2}$
grado $3$	$x^{3}$	$0$	$x^{3}$
grado $4$	$x^{4}$	$0$	$x^{4}$

Y el resultado final:

$p (x) + q (x) = x^{4} + x^{3} + 5 x^{2} + 6 x - 12$

Y también se cumple:

$grado (x^{4} + x^{3} + 5 x^{2} + 6 x - 12) =$ $= max {grado (x^{4} - x^{3} + x^{2} - 2), grado (4 x^{2} + 6 x - 10)} = 4$