Producto de polinomios

Debemos distinguir dos casos:

producto de un monomio por un polinomio
producto de un polinomio por un polinomio

Producto de un polinomio por un monomio

Se multiplica el monomio por todos los monomios que forman el polinomio.

El grado del producto es la suma de los grados de los factores.

Ejemplo

Consideremos, $p (x) = 4 x^{2}$ i $q (x) = x^{2} + 3 x - 2$ .

Entonces,

$p (x) \cdot q (x) = (4 x^{2}) (x^{2} + 3 x - 2) = (4 x^{2}) \cdot x^{2} + (4 x^{2}) \cdot 3 x - (4 x^{2}) \cdot 2 =$

$= 4 x^{4} + 12 x^{3} - 8 x^{2}$

Y se cumple,

$grado (4 x^{4} + 12 x^{3} - 8 x^{2}) = grado (4 x^{2}) + grado (x^{2} + 3 x - 2) =$

$= 2 + 2 = 4$

Ejemplo

Consideremos, $p (x) = - 2 x$ i $q (x) = 5 x^{3} + 3 x^{2} - 1$ .

Entonces,

$p (x) \cdot q (x) = (- 2 x) (5 x^{3} + 3 x^{2} - 1) = - 2 x \cdot 5 x^{3} - 2 x \cdot 3 x^{2} + 2 x \cdot 1 =$ $= - 10 x^{4} - 6 x^{3} + 2 x$

Y se cumple también,

$grado (- 10 x^{4} - 6 x^{3} + 2 x) = grado (- 2 x) + grado (5 x^{3} + 3 x^{2} - 1) =$

$= 1 + 3 = 4$

Producto de un polinomio por un polinomio

Se multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los monomios que forman el segundo polinomio. Después, se suman o restan los monomios semejantes, si hay.

El grado del producto es la suma de los grados de los factores.

Ejemplo

Realizar la multiplicación de $p (x)$ y $q (x)$ siendo

$p (x) = 4 x^{2} - 1$

$q (x) = x^{2} + 3 x - 2$

Multiplicamos el primer monomio de $p (x)$ por $q (x)$ :

$4 x^{2} \cdot q (x) = 4 x^{2} (x^{2} + 3 x - 2) = 4 x^{4} + 12 x^{3} - 8 x^{2}$

Ahora multiplicamos el segundo monomio de $p (x)$ por $q (x)$ :

$(- 1) \cdot q (x) = (- 1) (x^{2} + 3 x - 2) = - x^{2} - 3 x + 2$

Finalmente, juntamos ambas expresiones, sumando las que sean semejantes:

$p (x) \cdot q (x) = (4 x^{4} + 12 x^{3} - 8 x^{2}) + (- x^{2} - 3 x + 2) =$

$= 4 x^{4} + 12 x^{3} - 9 x^{2} - 3 x + 2$

Efectivamente, se cumple:

$grado (4 x^{4} + 12 x^{3} - 9 x^{2} - 3 x + 2) =$

$= grado (4 x^{2} - 1) + grado (x^{2} + 3 x - 2) = 2 + 2 = 4$

Ejemplo

Realizar la multiplicación de $p (x)$ y $q (x)$ siendo

$p (x) = x + 2$

$q (x) = 3 x^{3} - 2 x - 1$

Multiplicamos el primer monomio de $p (x)$ por $q (x)$ :

$x \cdot q (x) = x (3 x^{3} - 2 x - 1) = 3 x^{4} - 2 x^{2} - x$

Ahora multiplicamos el segundo monomio de $p (x)$ por $q (x)$ :

$2 \cdot q (x) = 2 (3 x^{3} - 2 x - 1) = 6 x^{3} - 4 x - 2$

Finalmente, juntamos ambas expresiones, sumando las que sean semejantes:

$p (x) \cdot q (x) = (3 x^{4} - 2 x^{2} - x) + (6 x^{3} - 4 x - 2) =$

$= 3 x^{4} + 6 x^{3} - 2 x^{2} - 5 x - 2$

Efectivamente, se cumple:

$grado (3 x^{4} + 6 x^{3} - 2 x^{2} - 5 x - 2) =$ $= grado (x + 2) + grado (3 x^{3} - 2 x - 1) = 1 + 3 = 4$