Regla de Ruffini

Para calcular el cociente de dos polinomios se utiliza un procedimiento que requiere muchos cálculos intermedios. Una regla que nos puede ayudar a simplificarlos es la regla de Ruffini. Esta regla sólo será válida cuando el divisor sea un polinomio de la forma $x - a$ , siendo $a$ un número real.

Utilizaremos un ejemplo para explicar la metodología:

Ejemplo

Realizar la división $\frac{p (x)}{q (x)}$ , siendo $p (x) = x^{4} - 3 x^{2} + x + 5$ y $q (x) = x + 2$ .

1) Completar y ordenar el polinomio dividendo.

Escribir el polinomio divisor de la forma $x - a$ , si es necesario.

En nuestro caso:

$p (x) = x^{4} + 0 x^{3} - 3 x^{2} + x + 5$

$q (x) = x - (- 2)$

Fijémonos que en este ejemplo el valor de $a = - 2$ .

2) Ponemos los elementos en una tabla como la siguiente.

	$1$	$0$	$- 3$	$1$	$5$
$- 2$

En la fila superior, situamos los coeficientes del polinomio (ordenado y completado!) $p (x)$ .

En la casilla izquierda, situamos el valor de $a$ .

3) Bajamos el primer coeficiente, y lo multiplicamos por el valor de $a$ . El resultado, lo ponemos justo debajo del segundo coeficiente:

	$1$	$0$	$- 3$	$1$	$5$
$- 2$		$1 \cdot (- 2) = - 2$
	$1$

4) Sumamos la segunda columna y bajamos el resultado obtenido, repitiendo el proceso hasta la última columna:

	$1$	$0$	$- 3$	$1$	$5$
$- 2$		$1 \cdot (- 2) = - 2$	$(- 2) \cdot (- 2) = 4$	$1 \cdot (- 2) = - 2$	$(- 1) \cdot (- 2) = 2$
	$1$	$0 + (- 2) = - 2$	$(- 3) + 4 = 1$	$1 + (- 2) = - 1$	$5 + 2 = 7$

5) El dígito de la esquina inferior derecha es el residuo. El resto de dígitos de la última fila son los coeficientes, ordenados, del polinomio cociente.

Así pues, en nuestro caso:

cociente: $x^{3} - 2 x^{2} + x - 1$

resto: $7$

Como vemos, se cumple la relación de grados:

$3 =$ grado $(x^{3} - 2 x^{2} + x - 1) =$ grado $(x^{4} - 3 x^{2} + x + 5) -$ grado $(x + 2) = 4 - 1 = 3$

grado $(7) = 0 < 1 =$ grado $(x + 2)$

Ejemplo

Realizar la división $\frac{p (x)}{q (x)}$ , siendo $p (x) = x^{5} + 2 x^{4} - 3 x^{3} + x^{2} - 1$ y $q (x) = x - 1$ .

1) $p (x) = x^{5} + 2 x^{4} - 3 x^{3} + x^{2} + 0 x - 1$

$q (x) = x - 1$

$a = 1$ .

	$1$	$2$	$- 3$	$1$	$0$	$- 1$
$1$

	$1$	$2$	$- 3$	$1$	$0$	$- 1$
$1$		$1$
	$1$	$3$

	$1$	$2$	$- 3$	$1$	$0$	$- 1$
$1$		$1$	$3$	$0$	$1$	$1$
	$1$	$3$	$0$	$1$	$1$	$0$

cociente: $x^{4} + 3 x^{3} + x + 1$

resto: $0$

Y se cumple:

$4 =$ grado $(x^{4} + 3 x^{3} + x + 1) =$ grado $(x^{5} + 2 x^{4} - 3 x^{3} + x^{2} - 1) -$

$-$ grado $(x - 1) = 5 - 1 = 4$

grado $(0) = 0 < 1 =$ grado $(x - 1)$

En este ejemplo, la división entre los polinomios es exacta, dado que el resto es $0$ .

Ahora introduciremos un poco más de dificultad en los ejemplos:

Ejemplo

Realizar la división $\frac{p (x)}{q (x)}$ , siendo $p (x) = - x^{3} + a x^{2} - x - 3$ y $q (x) = x + 1$ , e imponer el valor del parámetro $a$ para que la división sea exacta.

El procedimiento es el mismo, pero deberemos realizar las multiplicaciones y sumas considerando a una incógnita. Así, llegado al final, impondremos que el resto sea $0$ . Así pues:

$p (x) = - x^{3} + a x^{2} - x - 3$

$q (x) = x - (- 1)$ .

2,3,4)

	$- 1$	$a$	$- 1$	$- 3$
$- 1$		$1$	$- a - 1$	$a + 2$
	$- 1$	$a + 1$	$- a - 2$	$a - 1$

Para que la división sea exacta:

$a - 1 = 0 \Rightarrow a = 1$

Por el polinomio cociente resulta:

cociente: $- x^{2} + 2 x - 3$

resto: $0$