Cociente de polinomios

A continuación explicaremos un método para dividir polinomios de una variable. Utilizaremos un ejemplo para ilustrar el procedimiento:

Consideremos,

$$p(x)=x^5-3x^3+2x-1$$

$$q(x)=x^2-1-2x$$

Calcúlese el cociente $$\dfrac{p(x)}{q(x)}$$.

1) Completar y ordenar los dos polinomios.

En nuestro caso,

$$p(x)=x^5+0x^4-3x^3+0x^2+2x-1$$

$$q(x)=x^2-2x-1$$

2) Escribir los polinomios como si nos dispusiéramos a realizar una división tradicional de dos cifras (a la izquierda el dividendo, a la derecha el divisor). Consideremos que cada monomio sea una cifra.

Aquí utilizaremos la siguiente tabla:

$$x^5$$ $$0$$ $$-3x^3$$ $$0$$ $$2x$$ $$-1$$ $$x^2-2x-1$$

3) Dividir el primer monomio del dividendo por el primer monomio del divisor.

En nuestro caso: $$\dfrac{x^5}{x^2}=x^3$$

4) Multiplicar el resultado anterior por cada monomio del polinomio divisor y restarle el resultado al polinomio dividendo.

El producto resulta $$x^3\cdot q(x)=x^3(x^2-2x-1)=x^5-2x^4-x^3$$

Y lo restamos al dividendo. A continuación lo esquematizamos en el cuadro:

$$x^5$$ $$0$$ $$-3x^3$$ $$0$$ $$2x$$ $$-1$$ $$x^2-2x-1$$
$$-x^5$$ $$+2x^4$$ $$+x^3$$ $$0$$ $$0$$ $$0$$ $$x^3$$
$$0$$ $$+2x^4$$ $$-2x^3$$ $$0$$ $$2x$$ $$-1$$  

El resultado de la resta se muestra en la tercera fila. Anotamos el resultado de la divisón de monomios anterior justo debajo del divisor: será nuestro cociente.

Fijémonos que en la casilla correspondiente al grado del polinomio que hemos dividido, en este caso $$5$$, aparece un $$0$$. En cada paso, esto siempre deberá ocurrir.

5) Realizamos los pasos $$3$$ y $$4$$ hasta que el grado del polinomio a dividir sea menor que el grado del polinomio divisor.

Hacemos otra iteración: $$\dfrac{2x^4}{x^2}=2x^2$$

$$2x^2(x^2-2x-1)=2x^4-4x^3-2x^2$$

$$x^5$$ $$0$$ $$-3x^3$$ $$0$$ $$2x$$ $$-1$$ $$x^2-2x-1$$
$$-x^5$$ $$+2x^4$$ $$+x^3$$ $$0$$ $$0$$ $$0$$ $$x^3+2x^2$$
$$0$$ $$+2x^4$$ $$-2x^3$$ $$0$$ $$2x$$ $$-1$$  
  $$-2x^4$$ $$4x^3$$ $$2x^2$$ $$0$$ $$0$$  
  $$0$$ $$2x^3$$ $$2x^2$$ $$2x$$ $$-1$$  

Efectivamente, tenemos un $$0$$ en el monomio de grado $$4$$. Así pues, proseguimos con otra iteración:

$$\dfrac{2x^3}{x^2}=2x$$

$$2x(x^2-2x-1)=2x^3-4x^2-2x$$

$$x^5$$ $$0$$ $$-3x^3$$ $$0$$ $$2x$$ $$-1$$ $$x^2-2x-1$$
$$-x^5$$ $$+2x^4$$ $$+x^3$$ $$0$$ $$0$$ $$0$$ $$x^3+2x^2+2x$$
$$0$$ $$+2x^4$$ $$-2x^3$$ $$0$$ $$2x$$ $$-1$$  
  $$-2x^4$$ $$4x^3$$ $$2x^2$$ $$0$$ $$0$$  
  $$0$$ $$2x^3$$ $$2x^2$$ $$2x$$ $$-1$$  
    $$-2x^3$$ $$+4x^2$$ $$+2x$$ $$0$$  
    $$0$$ $$6x^2$$ $$4x$$ $$-1$$  

Volvemos a ver que aparece un $$0$$ en el monomio de grado $$3$$. Realizamos otra iteración:

$$\dfrac{6x^2}{x^2}=6$$

$$6(x^2-2x-1)=6x^2-12x-6$$

$$x^5$$ $$0$$ $$-3x^3$$ $$0$$ $$2x$$ $$-1$$ $$x^2-2x-1$$
$$-x^5$$ $$+2x^4$$ $$+x^3$$ $$0$$ $$0$$ $$0$$ $$x^3+2x^2+2x+6$$
$$0$$ $$+2x^4$$ $$-2x^3$$ $$0$$ $$2x$$ $$-1$$  
  $$-2x^4$$ $$+4x^3$$ $$+2x^2$$ $$0$$ $$0$$  
  $$0$$ $$2x^3$$ $$2x^2$$ $$2x$$ $$-1$$  
    $$-2x^3$$ $$+4x^2$$ $$+2x$$ $$0$$  
    $$0$$ $$6x^2$$ $$4x$$ $$-1$$  
      $$-6x^2$$ $$+12x$$ $$+6$$  
      $$0$$ $$16x$$ $$+5$$  

Efectivamente, vuelve a aparecer un $$0$$ en el monomio de grado $$2$$. Llegado este punto, el polinomio que queremos dividir tiene grado $$1$$, que es menor que el grado del divisor, que es $$2$$. En este momento, damos por finalizada la división. Entonces:

  • El cociente será el polinomio que queda justo debajo del divisor: $$x^3+2x^2+2x+6$$

  • El residuo será el polinomio que queda al final, cuyo grado será siempre inferior al del divisor: $$16x+5$$

COMPROBACIÓN

Para comprobar si hemos realizado correctamente la división, calcularemos: $$$\mbox{cociente}\times\mbox{divisor}+\mbox{residuo}$$$ y el resultado, en caso de haber realizado correctamente la operación, sería el dividendo.

Así pues, en el caso anterior: $$$(x^3+2x^2+2x+6)\cdot(x^2-2x-1)+(16x+5)$$$

Realizamos la multiplicación:

$$x^3\cdot(x^2-2x-1)=x^5-2x^4-x^3$$

$$2x^2\cdot(x^2-2x-1)=2x^4-4x^3-2x^2$$

$$2x\cdot(x^2-2x-1)=2x^3-4x^2-2x$$

$$6\cdot(x^2-2x-1)=6x^2-12x-6$$

Ahora lo sumamos

$$(x^5-2x^4-x^3)+(2x^4-4x^3-2x^2)+(2x^3-4x^2-2x)+$$

$$+(6x^2-12x-6)=x^5-3x^3-14x-6$$

Y si sumamos el residuo, obtenemos:

$$(x^5-3x^3-14x-6)+(16x+5)=x^5-3x^3+2x-1$$

que efectivamente coincide con el dividendo.

Referente a los grados de los polinomios resultantes, se comprueba que:

grado(cociente)=grado(dividendo)-grado(divisor)

grado(residuo)

Calcúlese el cociente $$3$$ con $$x^3+2x^2+2x+6$$ y $$x^5-3x^3+2x-1$$.

  1. Completamos y ordenamos

$$x^2-2x-1$$

$$5-2=3$$

  1. Iniciamos la tabla
$$16x+5$$ $$1 < 2$$ $$x^2-2x-1$$ $$\dfrac{p(x)}{q(x)}$$ $$p(x)=1-x^3$$

Iteración 1 $$q(x)=x+2$$ $$p(x)=-x^3+0x^2+0x+1$$

$$q(x)=x+2$$ $$-x^3$$ $$0$$ $$0$$ $$1$$
$$x+2$$ $$$\dfrac{-x^3}{x}=-x^2$$$ $$$-x^2(x+2)=-x^3-2x^2$$$ $$-x^3$$ $$0$$
$$0$$ $$1$$ $$x+2$$ $$+x^3$$  

Iteración 2 $$+2x^2$$ $$0$$

$$0$$ $$-x^2$$ $$0$$ $$+2x^2$$ $$0$$
$$1$$ $$$\dfrac{2x^2}{x}=2x$$$ $$$2x(x+2)=2x^2+4x$$$ $$-x^3$$ $$0$$
$$0$$ $$1$$ $$x+2$$ $$+x^3$$  
  $$+2x^2$$ $$0$$ $$0$$  
  $$-x^2+2x$$ $$0$$ $$+2x^2$$  

Iteración 3 $$0$$ $$1$$

$$-2x^2$$ $$-4x$$ $$0$$ $$0$$ $$-4x$$
$$1$$ $$$\dfrac{-4x}{x}=-4$$$ $$$-4(x+2)=-4x-8$$$ $$-x^3$$ $$0$$
$$0$$ $$1$$ $$x+2$$ $$+x^3$$  
  $$+2x^2$$ $$0$$ $$0$$  
  $$-x^2+2x-4$$ $$0$$ $$+2x^2$$  
    $$0$$ $$1$$  
    $$-2x^2$$ $$-4x$$  

Y vemos que

grado$$0$$grado$$0$$

Por lo tanto, el proceso se termina. Realizamos la pertinente comprobación:

$$-4x$$

Realizamos la multiplicación:

$$1$$

$$+4x$$

$$+8$$

Ahora lo sumamos

$$0$$

Y sumando el residuo, obtenemos el dividendo:

$$9$$

Referente a los grados, se cumple:

$$(9)=0 < 1=$$

grado$$(x+2)$$grado$$(-x^2+2x-4)(x+2)+(9)$$