Cociente de polinomios

A continuación explicaremos un método para dividir polinomios de una variable. Utilizaremos un ejemplo para ilustrar el procedimiento:

Ejemplo

Consideremos,

$p (x) = x^{5} - 3 x^{3} + 2 x - 1$

$q (x) = x^{2} - 1 - 2 x$

Calcúlese el cociente $\frac{p (x)}{q (x)}$ .

1) Completar y ordenar los dos polinomios.

En nuestro caso,

$p (x) = x^{5} + 0 x^{4} - 3 x^{3} + 0 x^{2} + 2 x - 1$

$q (x) = x^{2} - 2 x - 1$

2) Escribir los polinomios como si nos dispusiéramos a realizar una división tradicional de dos cifras (a la izquierda el dividendo, a la derecha el divisor). Consideremos que cada monomio sea una cifra.

Aquí utilizaremos la siguiente tabla:

x^{5}

0

- 3 x^{3}

0

2 x

- 1

x^{2} - 2 x - 1

3) Dividir el primer monomio del dividendo por el primer monomio del divisor.

En nuestro caso: $\frac{x^{5}}{x^{2}} = x^{3}$

4) Multiplicar el resultado anterior por cada monomio del polinomio divisor y restarle el resultado al polinomio dividendo.

El producto resulta $x^{3} \cdot q (x) = x^{3} (x^{2} - 2 x - 1) = x^{5} - 2 x^{4} - x^{3}$

Y lo restamos al dividendo. A continuación lo esquematizamos en el cuadro:

$x^{5}$	$0$	$- 3 x^{3}$	$0$	$2 x$	$- 1$	$x^{2} - 2 x - 1$
$- x^{5}$	$+ 2 x^{4}$	$+ x^{3}$	$0$	$0$	$0$	$x^{3}$
$0$	$+ 2 x^{4}$	$- 2 x^{3}$	$0$	$2 x$	$- 1$

El resultado de la resta se muestra en la tercera fila. Anotamos el resultado de la divisón de monomios anterior justo debajo del divisor: será nuestro cociente.

Fijémonos que en la casilla correspondiente al grado del polinomio que hemos dividido, en este caso $5$ , aparece un $0$ . En cada paso, esto siempre deberá ocurrir.

5) Realizamos los pasos $3$ y $4$ hasta que el grado del polinomio a dividir sea menor que el grado del polinomio divisor.

Hacemos otra iteración: $\frac{2 x^{4}}{x^{2}} = 2 x^{2}$

$2 x^{2} (x^{2} - 2 x - 1) = 2 x^{4} - 4 x^{3} - 2 x^{2}$

$x^{5}$	$0$	$- 3 x^{3}$	$0$	$2 x$	$- 1$	$x^{2} - 2 x - 1$
$- x^{5}$	$+ 2 x^{4}$	$+ x^{3}$	$0$	$0$	$0$	$x^{3} + 2 x^{2}$
$0$	$+ 2 x^{4}$	$- 2 x^{3}$	$0$	$2 x$	$- 1$
	$- 2 x^{4}$	$4 x^{3}$	$2 x^{2}$	$0$	$0$
	$0$	$2 x^{3}$	$2 x^{2}$	$2 x$	$- 1$

Efectivamente, tenemos un $0$ en el monomio de grado $4$ . Así pues, proseguimos con otra iteración:

$\frac{2 x^{3}}{x^{2}} = 2 x$

$2 x (x^{2} - 2 x - 1) = 2 x^{3} - 4 x^{2} - 2 x$

$x^{5}$	$0$	$- 3 x^{3}$	$0$	$2 x$	$- 1$	$x^{2} - 2 x - 1$
$- x^{5}$	$+ 2 x^{4}$	$+ x^{3}$	$0$	$0$	$0$	$x^{3} + 2 x^{2} + 2 x$
$0$	$+ 2 x^{4}$	$- 2 x^{3}$	$0$	$2 x$	$- 1$
	$- 2 x^{4}$	$4 x^{3}$	$2 x^{2}$	$0$	$0$
	$0$	$2 x^{3}$	$2 x^{2}$	$2 x$	$- 1$
		$- 2 x^{3}$	$+ 4 x^{2}$	$+ 2 x$	$0$
		$0$	$6 x^{2}$	$4 x$	$- 1$

Volvemos a ver que aparece un $0$ en el monomio de grado $3$ . Realizamos otra iteración:

$\frac{6 x^{2}}{x^{2}} = 6$

$6 (x^{2} - 2 x - 1) = 6 x^{2} - 12 x - 6$

$x^{5}$	$0$	$- 3 x^{3}$	$0$	$2 x$	$- 1$	$x^{2} - 2 x - 1$
$- x^{5}$	$+ 2 x^{4}$	$+ x^{3}$	$0$	$0$	$0$	$x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + 6$
$0$	$+ 2 x^{4}$	$- 2 x^{3}$	$0$	$2 x$	$- 1$
	$- 2 x^{4}$	$+ 4 x^{3}$	$+ 2 x^{2}$	$0$	$0$
	$0$	$2 x^{3}$	$2 x^{2}$	$2 x$	$- 1$
		$- 2 x^{3}$	$+ 4 x^{2}$	$+ 2 x$	$0$
		$0$	$6 x^{2}$	$4 x$	$- 1$
			$- 6 x^{2}$	$+ 12 x$	$+ 6$
			$0$	$16 x$	$+ 5$

Efectivamente, vuelve a aparecer un $0$ en el monomio de grado $2$ . Llegado este punto, el polinomio que queremos dividir tiene grado $1$ , que es menor que el grado del divisor, que es $2$ . En este momento, damos por finalizada la división. Entonces:

El cociente será el polinomio que queda justo debajo del divisor: $x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + 6$
El residuo será el polinomio que queda al final, cuyo grado será siempre inferior al del divisor: $16 x + 5$

COMPROBACIÓN

Para comprobar si hemos realizado correctamente la división, calcularemos: $cociente \times divisor + residuo$ y el resultado, en caso de haber realizado correctamente la operación, sería el dividendo.

Así pues, en el caso anterior: $(x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + 6) \cdot (x^{2} - 2 x - 1) + (16 x + 5)$

Realizamos la multiplicación:

$x^{3} \cdot (x^{2} - 2 x - 1) = x^{5} - 2 x^{4} - x^{3}$

$2 x^{2} \cdot (x^{2} - 2 x - 1) = 2 x^{4} - 4 x^{3} - 2 x^{2}$

$2 x \cdot (x^{2} - 2 x - 1) = 2 x^{3} - 4 x^{2} - 2 x$

$6 \cdot (x^{2} - 2 x - 1) = 6 x^{2} - 12 x - 6$

Ahora lo sumamos

$(x^{5} - 2 x^{4} - x^{3}) + (2 x^{4} - 4 x^{3} - 2 x^{2}) + (2 x^{3} - 4 x^{2} - 2 x) +$

$+ (6 x^{2} - 12 x - 6) = x^{5} - 3 x^{3} - 14 x - 6$

Y si sumamos el residuo, obtenemos:

$(x^{5} - 3 x^{3} - 14 x - 6) + (16 x + 5) = x^{5} - 3 x^{3} + 2 x - 1$

que efectivamente coincide con el dividendo.

Referente a los grados de los polinomios resultantes, se comprueba que:

grado(cociente)=grado(dividendo)-grado(divisor)

grado(residuo)

Ejemplo

Calcúlese el cociente $3$ con $x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + 6$ y $x^{5} - 3 x^{3} + 2 x - 1$ .

Completamos y ordenamos

$x^{2} - 2 x - 1$

$5 - 2 = 3$

Iniciamos la tabla

16 x + 5

1 < 2

x^{2} - 2 x - 1

\frac{p (x)}{q (x)}

p (x) = 1 - x^{3}

Iteración 1 $q (x) = x + 2$ $p (x) = - x^{3} + 0 x^{2} + 0 x + 1$

$q (x) = x + 2$	$- x^{3}$	$0$	$0$	$1$
$x + 2$	$\frac{- x^{3}}{x} = - x^{2}$	$- x^{2} (x + 2) = - x^{3} - 2 x^{2}$	$- x^{3}$	$0$
$0$	$1$	$x + 2$	$+ x^{3}$

Iteración 2 $+ 2 x^{2}$ $0$

$0$	$- x^{2}$	$0$	$+ 2 x^{2}$	$0$
$1$	$\frac{2 x^{2}}{x} = 2 x$	$2 x (x + 2) = 2 x^{2} + 4 x$	$- x^{3}$	$0$
$0$	$1$	$x + 2$	$+ x^{3}$
	$+ 2 x^{2}$	$0$	$0$
	$- x^{2} + 2 x$	$0$	$+ 2 x^{2}$

Iteración 3 $0$ $1$

$- 2 x^{2}$	$- 4 x$	$0$	$0$	$- 4 x$
$1$	$\frac{- 4 x}{x} = - 4$	$- 4 (x + 2) = - 4 x - 8$	$- x^{3}$	$0$
$0$	$1$	$x + 2$	$+ x^{3}$
	$+ 2 x^{2}$	$0$	$0$
	$- x^{2} + 2 x - 4$	$0$	$+ 2 x^{2}$
		$0$	$1$
		$- 2 x^{2}$	$- 4 x$

Y vemos que

grado $0$ grado $0$

Por lo tanto, el proceso se termina. Realizamos la pertinente comprobación:

$- 4 x$

Realizamos la multiplicación:

$1$

$+ 4 x$

$+ 8$

Ahora lo sumamos

$0$

Y sumando el residuo, obtenemos el dividendo:

$9$

Referente a los grados, se cumple:

$(9) = 0 < 1 =$

grado $(x + 2)$ grado $(- x^{2} + 2 x - 4) (x + 2) + (9)$