Producte de polinomis

Hem de distingir dos casos:

producte d'un monomi per un polinomi
producte d'un polinomi per un polinomi

Producte d'un polinomi per un monomi

Es multiplica el monomi per tots els monomis que formen el polinomi.

El grau del producte és la suma dels graus dels factors.

Exemple

Considerem, $p (x) = 4 x^{2}$ i $q (x) = x^{2} + 3 x - 2$ .

Llavors,

$p (x) \cdot q (x) = (4 x^{2}) (x^{2} + 3 x - 2) = (4 x^{2}) \cdot x^{2} + (4 x^{2}) \cdot 3 x - (4 x^{2}) \cdot 2 =$

$= 4 x^{4} + 12 x^{3} - 8 x^{2}$

I es compleix,

$grau (4 x^{4} + 12 x^{3} - 8 x^{2}) = grau (4 x^{2}) + grau (x^{2} + 3 x - 2) =$

$= 2 + 2 = 4$

Exemple

Considerem, $p (x) = - 2 x$ i $q (x) = 5 x^{3} + 3 x^{2} - 1$ .

Llavors,

$p (x) \cdot q (x) = (- 2 x) (5 x^{3} + 3 x^{2} - 1) = - 2 x \cdot 5 x^{3} - 2 x \cdot 3 x^{2} + 2 x \cdot 1 =$ $= - 10 x^{4} - 6 x^{3} + 2 x$

I es compleix també,

$grau (- 10 x^{4} - 6 x^{3} + 2 x) = grau (- 2 x) + grau (5 x^{3} + 3 x^{2} - 1) =$

$= 1 + 3 = 4$

Producte d'un polinomi per un polinomi

Es multiplica cada monomi del primer polinomi per tots els monomis que formen el segon polinomi. Després, se sumen o resten els monomis semblants, si n'hi ha.

El grau del producte és la suma dels graus dels factors.

Exemple

Realitzar la multiplicació de $p (x)$ i $q (x)$ essent

$p (x) = 4 x^{2} - 1$

$q (x) = x^{2} + 3 x - 2$

Multipliquem el primer monomi de $p (x)$ per $q (x)$ :

$4 x^{2} \cdot q (x) = 4 x^{2} (x^{2} + 3 x - 2) = 4 x^{4} + 12 x^{3} - 8 x^{2}$

Ara multipliquem el segon monomi de $p (x)$ per $q (x)$ :

$(- 1) \cdot q (x) = (- 1) (x^{2} + 3 x - 2) = - x^{2} - 3 x + 2$

Finalment, ajuntem les dues expressions, sumant les que siguin semblants:

$p (x) \cdot q (x) = (4 x^{4} + 12 x^{3} - 8 x^{2}) + (- x^{2} - 3 x + 2) =$

$= 4 x^{4} + 12 x^{3} - 9 x^{2} - 3 x + 2$

Efectivament, es compleix:

$grau (4 x^{4} + 12 x^{3} - 9 x^{2} - 3 x + 2) =$

$= grau (4 x^{2} - 1) + grau (x^{2} + 3 x - 2) = 2 + 2 = 4$

Exemple

Realitzar la multiplicació de $p (x)$ i $q (x)$ essent

$p (x) = x + 2$

$q (x) = 3 x^{3} - 2 x - 1$

Multipliquem el primer monomi de $p (x)$ per $q (x)$ :

$x \cdot q (x) = x (3 x^{3} - 2 x - 1) = 3 x^{4} - 2 x^{2} - x$

Ara multipliquem el segon monomi de $p (x)$ per $q (x)$ :

$2 \cdot q (x) = 2 (3 x^{3} - 2 x - 1) = 6 x^{3} - 4 x - 2$

Finalment, ajuntem les dues expressions, sumant les que siguin semblants:

$p (x) \cdot q (x) = (3 x^{4} - 2 x^{2} - x) + (6 x^{3} - 4 x - 2) =$

$= 3 x^{4} + 6 x^{3} - 2 x^{2} - 5 x - 2$

Efectivament, es compleix:

$grau (3 x^{4} + 6 x^{3} - 2 x^{2} - 5 x - 2) =$ $= grau (x + 2) + grau (3 x^{3} - 2 x - 1) = 1 + 3 = 4$