Exercicis de Raons trigonomètriques d'altres angles

Desenvolupament:

• ${75}^{\circ }$ i ${105}^{\circ }$ són angles suplementaris, ja que ${75}^{\circ }+{105}^{\circ }={180}^{\circ }$. Com els sinus d' angles suplementaris són iguals, la igualtat és certa.

• ${220}^{\circ }$ i ${40}^{\circ }$ es diferencien en ${180}^{\circ }$, perquè ${220}^{\circ }-{40}^{\circ }={180}^{\circ }$. Els angles que es diferencien en ${180}^{\circ }$ tenen la mateixa tangent, per tant la igualtat és falsa.

• ${350}^{\circ }$ i ${170}^{\circ }$ es diferencien en ${180}^{\circ }$, ja que ${350}^{\circ }-{170}^{\circ }={180}^{\circ }$. Els cosinus d' angles que es diferencien en ${180}^{\circ }$ tenen cosinus iguals, però amb diferent signe. És a dir: $\cos ({350}^{\circ })=-\cos ({170}^{\circ })$, i per tant la igualtat és certa.

Solució:

• La igualtat és certa.
• La igualtat és falsa.
• La igualtat és certa.

Amagar desenvolupament i solució

Desenvolupament:

a) Els angles ${45}^{\circ }$ i ${315}^{\circ }$ són oposats, ja que ${45}^{\circ }+{315}^{\circ }={360}^{\circ }$. Com el sinus de dos angles oposats són iguals però amb diferent signe, $\sin ({45}^{\circ })=-\sin ({315}^{\circ })$. És a dir, la igualtat és certa.

b) Els angles ${80}^{\circ }$ i ${100}^{\circ }$ sumen: ${80}^{\circ }+{100}^{\circ }={180}^{\circ }$. Per tant no són oposats, ja que no sumen ${360}^{\circ }$. De fet, són suplementaris.

c) La tangent d'un angle negatiu és la mateixa que la de l'angle positiu, però amb signe contrari. En aquest cas vol dir que: $\tan (-{17}^{\circ })=-\tan ({17}^{\circ })$. Per tant, la igualtat de l'enunciat és falsa.

d) Si es divideix ${450}^{\circ }$ per ${360}^{\circ }$, dóna resta ${90}^{\circ }$. Per tant, els cosinus dels dos angles són el mateix: $\cos ({450}^{\circ })=\cos ({90}^{\circ })$. La igualtat és, doncs, certa.

Solució:

a) La igualtat és certa.

b) L'afirmació és falsa.

c) La igualtat és falsa.

d) La igualtat és certa.

Amagar desenvolupament i solució

Desenvolupament:

a) ${37}^{\circ }$ i ${233}^{\circ }$ sumen ${270}^{\circ }$: $${37}^{\circ }+{233}^{\circ }={270}^{\circ }$$

Per tant, es compleix que: $\tan ({37}^{\circ })=\cot ({233}^{\circ })$ (i no amb un menys). Per tant la igualtat és falsa.

b) Els angles ${400}^{\circ }$ i ${130}^{\circ }$ es diferencien en ${270}^{\circ }$: $${400}^{\circ }-{130}^{\circ }={270}^{\circ }$$

Per tant sabem que: $\cos ({400}^{\circ })=\sin ({130}^{\circ })$, de manera que la igualtat és falsa.

c) Els angles ${230}^{\circ }$ i ${140}^{\circ }$ es diferencien en ${90}^{\circ }$, ja que $${230}^{\circ }-{140}^{\circ }={90}^{\circ }$$

I per tant es té: $\cos ({230}^{\circ })=-\sin ({140}^{\circ })$. És a dir, la igualtat és certa.

Solució:

a) La igualtat és falsa.

b) La igualtat és falsa.

c) La igualtat és certa.

Amagar desenvolupament i solució