Raons trigonomètriques d'altres angles

Angles Suplementaris

Dos angles s'anomenen suplementaris si sumen ${180}^{\circ }$.

El sinus, cosinus i tangent dels angles suplementaris tenen certa relació. Si $\alpha$ i $\beta$ són dos angles suplementaris llavors:

• $\sin (\alpha )=\sin (\beta )$

• $\cos (\alpha )=-\cos (\beta )$

• $\tan (\alpha )=-\tan (\beta )$

És a dir, els sinus són iguals, i el cosinus i la tangent canvien de signe.

Angles que es diferencien en ${180}^{\circ }$

Dos angles $\alpha$ i $\beta$ es diferencien en ${180}^{\circ }$ si $\alpha -\beta ={180}^{\circ }$.

El sinus, cosinus i tangent de dos angles que es diferencien en ${180}^{\circ }$ també estan relacionats. Si $\alpha$ i $\beta$ es diferencien en ${180}^{\circ }$, aleshores:

• $\sin (\alpha )=-\sin (\beta )$

• $\cos (\alpha )=-\cos (\beta )$

• $\tan (\alpha )=\tan (\beta )$

És a dir, el sinus i el cosinus canvien de signe, però la tangent és la mateixa en els dos angles.

Angles oposats

Dos angles s'anomenen oposats si sumen ${360}^{\circ }$. És a dir, $\alpha$ i $\beta$ són oposats si $\alpha +\beta ={360}^{\circ }$.

Els sinus, cosinus i tangents de angles oposats estan relacionats d'una forma similar de com es va veure amb els angles suplementaris o els que es diferencien en ${180}^{\circ }$. Així, si $\alpha$ i $\beta$ són angles oposats es compleix sempre que:

• $\sin (\alpha )=-\sin (\beta )$

• $\cos (\alpha )=\cos (\beta )$

• $\tan (\alpha )=-\tan (\beta )$

És a dir, el sinus i la tangent són el mateix però amb diferent signe, i el cosinus és exactament el mateix.

Angles negatius

Un angle és negatiu si va en direcció contrària a les agulles del rellotge, i es simbolitza amb un menys davant.

Si $\alpha$ és un angle, llavors és tenen les següents igualtats:

• $\sin (-\alpha )=-\sin (\alpha )$

• $\cos (-\alpha )=\cos (\alpha )$

• $\tan (-\alpha )=-\tan (\alpha )$

En resum, el sinus i la tangent de $\alpha$ i $-\alpha$ són el mateix però amb diferent signe, i el cosinus és exactament el mateix.

Angles majors de ${360}^{\circ }$

Per calcular el sinus, el cosinus i la tangent de angles grans de ${360}^{\circ }$, es segueixen els següents passos:

1. Es fa la divisió entera de l'angle entre $360$. Per exemple, si l'angle és ${780}^{\circ }$, es fa:

2. S'agafa el residu. En l'exemple anterior és ${60}^{\circ }$.

3. El sinus, el cosinus i la tangent de l'angle són el del residu que s'ha obtingut.

Angles que es diferencien en ${90}^{\circ }$

Dos angles es diferencien en ${90}^{\circ }$ si el resultat de restar és ${90}^{\circ }$.

Les raons que satisfan dos angles $\alpha$ i $\beta$ si es diferencien en ${90}^{\circ }$ (és a dir, si $\alpha -\beta ={90}^{\circ }$) són:

• $\sin (\alpha )=\cos (\beta )$

• $\cos (\alpha )=-\sin (\beta )$

• $\tan (\alpha )=-\cot (\beta )$

Angles que sumen ${270}^{\circ }$

Dos angles $\alpha$ i $\beta$ sumen ${270}^{\circ }$ si $\alpha +\beta ={270}^{\circ }$.

En aquest cas, $\alpha$ i $\beta$ satisfan les següents igualtats:

• $\sin (\alpha )=-\cos (\beta )$

• $\cos (\alpha )=-\sin (\beta )$

• $\tan (\alpha )=\cot (\beta )$

Angles que es diferencien en ${270}^{\circ }$

Dos angles $\alpha$ i $\beta$ es diferencien en ${270}^{\circ }$ si a la resta s'obté exactament ${270}^{\circ }$: $\alpha -\beta ={270}^{\circ }$.

Quan dos angles $\alpha$ i $\beta$ es diferencien en ${270}^{\circ }$ es compleix que:

• $\sin (\alpha )=-\cos (\beta )$

• $\cos (\alpha )=\sin (\beta )$

• $\tan (\alpha )=-\cot (\beta )$