Razones trigonométricas de otros ángulos

Ángulos suplementarios

Dos ángulos se llaman suplementarios si suman ${180}^{\circ }$.

El seno, coseno y tangente de los ángulos suplementarios tienen cierta relación. Si $\alpha$ y $\beta$ son dos ángulos suplementarios entonces se tiene que:

• $\sin (\alpha )=\sin (\beta )$

• $\cos (\alpha )=-\cos (\beta )$

• $\tan (\alpha )=-\tan (\beta )$

Es decir, los senos son iguales, y el coseno y la tangente cambian de signo.

Ángulos que se diferencian en ${180}^{\circ }$

Dos ángulos $\alpha$ y $\beta$ se diferencian en ${180}^{\circ }$ si $\alpha -\beta ={180}^{\circ }$.

El seno, coseno y tangente de dos ángulos que se diferencian en ${180}^{\circ }$ también están relacionados. Si $\alpha$ y $\beta$ se diferencian en ${180}^{\circ }$, entonces:

• $\sin (\alpha )=-\sin (\beta )$

• $\cos (\alpha )=-\cos (\beta )$

• $\tan (\alpha )=\tan (\beta )$

Es decir, el seno y el coseno cambian de signo, pero la tangente es la misma en los dos ángulos.

Ángulos opuestos

Dos ángulos se llaman opuestos si suman ${360}^{\circ }$. Es decir, $\alpha$ y $\beta$ son opuestos si $\alpha +\beta ={360}^{\circ }$.

Los senos, cosenos y tangentes de ángulos opuestos están relacionados de una forma similar de como se vio con los ángulos suplementarios o los que se diferencian en ${180}^{\circ }$. Así, si $\alpha$ y $\beta$ son ángulos opuestos se cumple siempre que:

• $\sin (\alpha )=-\sin (\beta )$

• $\cos (\alpha )=\cos (\beta )$

• $\tan (\alpha )=-\tan (\beta )$

Es decir, el seno y la tangente son el mismo pero con diferente signo, y el coseno es exactamente el mismo.

Ángulos negativos

Un ángulo es negativo si va en dirección contraria a las agujas del reloj, y se simboliza con un menos delante.

Si $\alpha$ es un ángulo, entonces se tienen las siguientes igualdades:

• $\sin (-\alpha )=-\sin (\alpha )$

• $\cos (-\alpha )=\cos (\alpha )$

• $\tan (-\alpha )=-\tan (\alpha )$

En resumen, el seno y la tangente de $\alpha$ y $-\alpha$ son el mismo pero con diferente signo, y el coseno es exactamente el mismo.

Ángulos mayores de ${360}^{\circ }$

Para calcular el seno, el coseno y la tangente de ángulos mayores de ${360}^{\circ }$, se siguen los siguientes pasos:

1. Se hace la división entera del ángulo entre $360$. Por ejemplo, si el ángulo es ${780}^{\circ }$, se hace:

2. Se coge el residuo. En el ejemplo anterior es ${60}^{\circ }$.

3. El seno, el coseno y la tangente del ángulo son el del residuo que se ha obtenido.

Ángulos que se diferencian en ${90}^{\circ }$

Dos ángulos se diferencian en ${90}^{\circ }$ si el resultado de restarlos es ${90}^{\circ }$.

Las razones que satisfacen dos ángulos $\alpha$ y $\beta$ si se diferencian en ${90}^{\circ }$ (es decir, si $\alpha -\beta ={90}^{\circ }$) son:

• $\sin (\alpha )=\cos (\beta )$

• $\cos (\alpha )=-\sin (\beta )$

• $\tan (\alpha )=-\cot (\beta )$

Ángulos que suman ${270}^{\circ }$:

Dos ángulos $\alpha$ y $\beta$ suman ${270}^{\circ }$ si $\alpha +\beta ={270}^{\circ }$.

En este caso, $\alpha$ y $\beta$ satisfacen las siguientes igualdades:

• $\sin (\alpha )=-\cos (\beta )$

• $\cos (\alpha )=-\sin (\beta )$

• $\tan (\alpha )=\cot (\beta )$

Ángulos que se diferencian en ${270}^{\circ }$:

Dos ángulos $\alpha$ y $\beta$ se diferencian en ${270}^{\circ }$ si al restarlos se obtiene exactamente ${270}^{\circ }$: $\alpha -\beta ={270}^{\circ }$.

Cuando dos ángulos $\alpha$ y $\beta$ se diferencian en ${270}^{\circ }$ se cumple que:

• $\sin (\alpha )=-\cos (\beta )$

• $\cos (\alpha )=\sin (\beta )$

• $\tan (\alpha )=-\cot (\beta )$