Raons trigonomètriques en la circumferència

S'anomena circumferència goniomètrica a aquella que té el seu centre en l'origen de coordenades i el seu radi és la unitat. A la circumferència goniomètrica els eixos de coordenades delimiten quatre quadrants que es numeren en sentit contrari a les agulles del rellotge.

$QOP$ i $TOS$ són triangles semblants.

$QOP$ i $T^{\prime }O{S}^{\prime }$ són triangles semblants.

El sinus és l'ordenada, el cosinus és la abscissa i, a més, a la vista de la imatge, veiem que :

$$-1⩽\sin (\alpha )⩽1\text{ i }-1⩽\cos (\alpha )⩽1$$

A més, veiem que podem calcular el sinus, el cosinus i la tangent de l'angle mitjançant les següents relacions:

$\sin (\alpha )={\displaystyle \frac{\overline{PQ}}{\overline{OP}}}={\displaystyle \frac{\overline{PQ}}{r}}=\overline{PQ}$

$\cos (\alpha )={\displaystyle \frac{\overline{OQ}}{\overline{OP}}}=\overline{OQ}$

$\tan (\alpha )={\displaystyle \frac{\overline{PQ}}{\overline{OQ}}}={\displaystyle \frac{\overline{ST}}{\overline{OT}}}=\overline{ST}$

Les raons trigonomètriques inverses es corresponen a:

$\csc (\alpha )={\displaystyle \frac{\overline{OP}}{\overline{PQ}}}={\displaystyle \frac{\overline{O{S}^{\prime }}}{\overline{OT}}}=\overline{O{S}^{\prime }}$

$\sec (\alpha )={\displaystyle \frac{\overline{OP}}{\overline{OQ}}}={\displaystyle \frac{\overline{OS}}{\overline{OT}}}\overline{OS}$

$\cot (\alpha )={\displaystyle \frac{\overline{OQ}}{\overline{PQ}}}={\displaystyle \frac{\overline{S^{\prime }{T}^{\prime }}}{\overline{O{T}^{\prime }}}}=\overline{S^{\prime }{T}^{\prime }}$

Signe de les raons trigonomètriques

A continuació, anem a donar els signes que prenen el sinus i el cosinus en la circumferència goniomètrica:

I en els extrems de cada quadrant:

$\begin{array}{lcccc}\alpha :& 0^{\circ }& {90}^{\circ }& {180}^{\circ }& {270}^{\circ }\\ \sin (\alpha )& 0& 1& 0& -1\\ \cos (\alpha )& 1& 0& -1& 0\\ \tan (\alpha )& 0& \to \mathrm{\infty }& 0& \to -\mathrm{\infty }\end{array}$

Angles complementaris

Es diu que dos angles $x$ i $y$ són complementaris si la seva suma és un angle recte. És a dir,

• Si $x+y={90}^{\circ }$ amb $x$, $y$ expressats en graus sexagesimals.
• Si $x+y={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$ amb $x$, $y$ expressats en radians.

A més, si dos angles complementaris són adjacents, els costats no comuns formen un angle recte. Per exemple, si $x={30}^{\circ }$, el seu angle complementari és $y={60}^{\circ }$, ja que $x+y=30+60={90}^{\circ }$.

A la figura següent, veurem a més la relació existent entre el sinus i el cosinus:

A la vista de la figura anterior, veiem, doncs, que es compleixen les següents relacions:

$\sin ({\displaystyle \frac{\pi }{2}}-\alpha )=\cos (\alpha )$

$\cos ({\displaystyle \frac{\pi }{2}}-\alpha )=\sin (\alpha )$

$\tan ({\displaystyle \frac{\pi }{2}}-\alpha )=\cot (\alpha )$