Relacions trigonomètriques fonamentals

En aquesta secció, donarem algunes de les relacions trigonomètriques més elementals.

  1. sin2(x)+cos2(x)=1
  2. tan(x)=sin(x)cos(x)
  3. 1+tan2(x)=sec2(x)
  4. 1+cot2(x)=csc2(x)
  5. 1cos(2x)=2sin2(x)
  6. 1+cos(2x)=2cos2(x)
  7. sin(x+y)=sin(x)cos(x)+cos(x)sin(y)
  8. sin(xy)=sin(x)cos(x)cos(x)sin(y)
  9. cos(x+y)=cos(x)cos(y)sin(x)sin(y)
  10. cos(xy)=cos(x)cos(y)+sin(x)sin(y)
  11. tan(x+y)=tan(x)+tan(y)1tan(x)tan(y)
  12. tan(xy)=tan(x)tan(y)1tan(x)tan(y)
  13. sin(2x)=2sin(x)cos(x)
  14. cos(2x)=cos2(x)sin2(x)
  15. tan(2x)=2tan(x)1tan2(x)

Exemple

Sabent que cos(x)=sin(x) i sin(y)=2cos(y), anem a calcular el cosinus i el sinus de x+y:

sin(x+y)=sin(x)cos(y)+cos(x)sin(y)=sin(x)cos(y)+2sin(x)cos(y)=3sin(x)cos(y)

cos(x+y)=cos(x)cos(y)sin(x)sin(y)=sin(x)cos(y)2sin(x)cos(y)=sin(x)cos(y)

Procedint de manera anàloga, obtenim que el sinus i el cosinus de xy és:

sin(xy)=sin(x)cos(y)=cos(x+y)

cos(xy)=3sin(x)cos(y)=sin(x+y)

Exemple

Sabent que sinα=35, i que 90<α<180, calcula les restants raons trigonomètriques de l'angle α.

Anem a calcular les altres raons trigonomètriques a partir del coneixement del sinus de l'angle,

sin(α)=35csc(α)=53

D'altra banda, el cosinus val: cos(α)=1sin2(α)=1925=2625=45sec(α)=54

Finalment, per calcular la tangent fem servir que:

tan(α)=sin(α)cos(α)=3545=34cot(α)=43