Relaciones trigonométricas fundamentales

Ejemplo

Sabiendo que $\cos (x)=\sin (x)$ y $\sin (y)=2\cos (y)$, vamos a calcular el coseno y el seno de $x+y$:

$\begin{array}{rl}\sin (x+y)=& \sin (x)\cos (y)+\cos (x)\sin (y)=\sin (x)\cos (y)+2\sin (x)\cos (y)\\ =& 3\sin (x)\cos (y)\end{array}$

$\begin{array}{rl}\cos (x+y)=& \cos (x)\cos (y)-\sin (x)\sin (y)=\sin (x)\cos (y)-2\sin (x)\cos (y)\\ =& -\sin (x)\cos (y)\end{array}$

Procediendo de manera análoga, obtenemos que el seno y el coseno de $x-y$ es:

$\sin (x-y)=-\sin (x)\cos (y)=\cos (x+y)$

$\cos (x-y)=3\sin (x)\cos (y)=\sin (x+y)$

Ejemplo

Sabiendo que $\sin \alpha ={\displaystyle \frac{3}{5}}$, y que ${90}^{\circ }<\alpha <{180}^{\circ }$, Calcular las restantes razones trigonométricas del ángulo $\alpha$.

Vamos a calcular las otras razones trigonométricas a partir del conocimiento del seno del ángulo,

$$\sin (\alpha )={\displaystyle \frac{3}{5}}\Rightarrow \csc (\alpha )={\displaystyle \frac{5}{3}}$$

Por otro lado, el coseno vale: $$\cos (\alpha )=-\sqrt{1-{\sin }^2(\alpha )}=-\sqrt{1-{\displaystyle \frac{9}{25}}}=-\sqrt{{\displaystyle \frac{26}{25}}}=-{\displaystyle \frac{4}{5}}\Rightarrow \sec (\alpha )=-{\displaystyle \frac{5}{4}}$$

Finalmente, para calcular la tangente usamos que:

$$\tan (\alpha )={\displaystyle \frac{\sin (\alpha )}{\cos (\alpha )}}=-{\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{3}{5}}}{{\displaystyle \frac{4}{5}}}}=-{\displaystyle \frac{3}{4}}\Rightarrow \cot (\alpha )=-{\displaystyle \frac{4}{3}}$$