Ejercicios de Relaciones trigonométricas fundamentales

Dado el triángulo rectángulo $A B C$ , considérese la altura del triángulo respecto el ángulo recto. Sean $x$ , $y$ los ángulos correspondientes a la partición del ángulo mediante la altura, entonces calcular cuánto valen los siguientes valores: $\sin (2 x)$ , $\tan (x - y)$ y $\cos (2 y)$ .

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Desarrollo:

Los ángulos $x$ y $y$ son complementarios. Por lo tanto, sabemos que $\sin (x + y) = \sin (x) \cos (y) + \cos (x) \sin (y) = 1$

Por otro lado, si realizamos la figura observamos que el triangulo ABC $A B C$ es la unión de dos triángulos más pequeñosés $A B D$ y $A D C$ . Así, pues, teniendo en cuenta que la suma de todos los ángulos de un triángulo tiene que ser $180^{\circ}$ , obtenemos que:

$180 = 90 + 30 + x \Rightarrow x = 180 - 90 - 30 = 60$
$180 = 90 + 60 + y \Rightarrow y = 180 - 90 - 60 = 30$

Entonces, $\sin (2 x) = 2 \sin (x) \cos (x) = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\tan (x - y) = \frac{\tan (x) - \tan (y)}{1 + \tan (x) \tan (y)} = \frac{\sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + \sqrt{3} \frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

$\cos (2 y) = \cos^{2} (y) - \sin^{2} (y) = \frac{3}{4} - \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$

Solución:

$\sin (2 x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\tan (x - y) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

$\cos (2 y) = \frac{1}{2}$

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