Exercicis de Relacions trigonomètriques fonamentals

Donat el triangle rectangle $A B C$ , considereu l'alçada del triangle respecte l'angle recte. Siguin $x$ , $y$ els angles corresponents a la partició de l'angle mitjançant l'alçada, calculeu quant valen els següents valors: $\sin (2 x)$ , $\tan (x - y)$ i $\cos (2 y)$ .

imagen

Veure desenvolupament i solució

Desenvolupament:

Els angles $x$ i $y$ són complementaris. Per tant, sabem que $\sin (x + y) = \sin (x) \cos (y) + \cos (x) \sin (y) = 1$

D'altra banda, si fem el dibuix de la figura observem que el triangle $A B C$ és la unió de dos triangles més petits $A B D$ i $A D C$ . Així, doncs, tenint en compte que la suma de tots els angles d'un triangle ha de ser $180^{\circ}$ , obtenim que:

$180 = 90 + 30 + x \Rightarrow x = 180 - 90 - 30 = 60$
$180 = 90 + 60 + y \Rightarrow y = 180 - 90 - 60 = 30$

Llavors, $\sin (2 x) = 2 \sin (x) \cos (x) = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\tan (x - y) = \frac{\tan (x) - \tan (y)}{1 + \tan (x) \tan (y)} = \frac{\sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + \sqrt{3} \frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

$\cos (2 y) = \cos^{2} (y) - \sin^{2} (y) = \frac{3}{4} - \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$

Solució:

$\sin (2 x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\tan (x - y) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

$\cos (2 y) = \frac{1}{2}$

Amagar desenvolupament i solució