Razones trigonométricas en la circunferencia

Se llama circunferencia goniométrica a aquélla que tiene su centro en el origen de coordenadas y su radio es la unidad. En la circunferencia goniométrica los ejes de coordenadas delimitan cuatro cuadrantes que se numeran en sentido contrario a las agujas del reloj.

$QOP$ y $TOS$ son triángulos semejantes.

$QOP$ y $T^{\prime }O{S}^{\prime }$ son triángulos semejantes.

El seno es la ordenada, el coseno es la abscisa y además, a la vista de la imagen, vemos que:

$$-1⩽\sin (\alpha )⩽1\text{ y }-1⩽\cos (\alpha )⩽1$$

Además, vemos que podemos calcular el seno, el coseno y la tangente del ángulo mediante las siguientes relaciones:

$\sin (\alpha )={\displaystyle \frac{\overline{PQ}}{\overline{OP}}}={\displaystyle \frac{\overline{PQ}}{r}}=\overline{PQ}$

$\cos (\alpha )={\displaystyle \frac{\overline{OQ}}{\overline{OP}}}=\overline{OQ}$

$\tan (\alpha )={\displaystyle \frac{\overline{PQ}}{\overline{OQ}}}={\displaystyle \frac{\overline{ST}}{\overline{OT}}}=\overline{ST}$

Las razones trigonométricas inversas se corresponden a:

$\csc (\alpha )={\displaystyle \frac{\overline{OP}}{\overline{PQ}}}={\displaystyle \frac{\overline{O{S}^{\prime }}}{\overline{OT}}}=\overline{O{S}^{\prime }}$

$\sec (\alpha )={\displaystyle \frac{\overline{OP}}{\overline{OQ}}}={\displaystyle \frac{\overline{OS}}{\overline{OT}}}\overline{OS}$

$\cot (\alpha )={\displaystyle \frac{\overline{OQ}}{\overline{PQ}}}={\displaystyle \frac{\overline{S^{\prime }{T}^{\prime }}}{\overline{O{T}^{\prime }}}}=\overline{S^{\prime }{T}^{\prime }}$

Signo de las razones trigonométricas

A continuación, vamos a dar los signos que toman el seno y el coseno en la circunferencia goniométrica:

I en los extremos de cada cuadrante:

$\begin{array}{lcccc}\alpha :& 0^{\circ }& {90}^{\circ }& {180}^{\circ }& {270}^{\circ }\\ \sin (\alpha )& 0& 1& 0& -1\\ \cos (\alpha )& 1& 0& -1& 0\\ \tan (\alpha )& 0& \to \mathrm{\infty }& 0& \to -\mathrm{\infty }\end{array}$

Ángulos complementarios

Se dice que dos ángulos $x$ y $y$ son complementarios si su suma es un ángulo recto. O sea,

• Si $x+y={90}^{\circ }$ con $x$, $y$ expresados en grados sexagesimales
• Si $x+y={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$ con $x$, $y$ expresados en radianes.

Además, si dos ángulos complementarios son adyacentes, los lados no comunes forman un ángulo recto. Por ejemplo, si $x={30}^{\circ }$, su ángulo complementario es $y={60}^{\circ }$, dado que $x+y=30+60={90}^{\circ }$.

En la figura siguiente, veremos además la relación existente entre el seno y el coseno:

A la vista de la figura anterior, pues, vemos que se cumplen las siguientes relaciones:

$\sin ({\displaystyle \frac{\pi }{2}}-\alpha )=\cos (\alpha )$

$\cos ({\displaystyle \frac{\pi }{2}}-\alpha )=\sin (\alpha )$

$\tan ({\displaystyle \frac{\pi }{2}}-\alpha )=\cot (\alpha )$