Razones trigonométricas en la circunferencia

Se llama circunferencia goniométrica a aquélla que tiene su centro en el origen de coordenadas y su radio es la unidad. En la circunferencia goniométrica los ejes de coordenadas delimitan cuatro cuadrantes que se numeran en sentido contrario a las agujas del reloj.

$$QOP$$ y $$TOS$$ son triángulos semejantes.

$$QOP$$ y $$T'OS'$$ son triángulos semejantes.

El seno es la ordenada, el coseno es la abscisa y además, a la vista de la imagen, vemos que:

$$$ -1\leqslant \sin(\alpha) \leqslant 1 \quad \text{ y } \quad -1\leqslant \cos(\alpha) \leqslant 1 $$$

Además, vemos que podemos calcular el seno, el coseno y la tangente del ángulo mediante las siguientes relaciones:

$$\sin(\alpha)=\dfrac{\overline{PQ}}{\overline{OP}}= \dfrac{\overline{PQ}}{r}=\overline{PQ}$$

$$\cos(\alpha)=\dfrac{\overline{OQ}}{\overline{OP}}= \overline{OQ}$$

$$\tan(\alpha)=\dfrac{\overline{PQ}}{\overline{OQ}}= \dfrac{\overline{ST}}{\overline{OT}}=\overline{ST}$$

Las razones trigonométricas inversas se corresponden a:

$$\csc(\alpha)=\dfrac{\overline{OP}}{\overline{PQ}}= \dfrac{\overline{OS'}}{\overline{OT}}=\overline{OS'}$$

$$\sec(\alpha)=\dfrac{\overline{OP}}{\overline{OQ}}= \dfrac{\overline{OS}}{\overline{OT}} \overline{OS}$$

$$\cot(\alpha)=\dfrac{\overline{OQ}}{\overline{PQ}}= \dfrac{\overline{S'T'}}{\overline{OT'}}=\overline{S'T'}$$

Signo de las razones trigonométricas

A continuación, vamos a dar los signos que toman el seno y el coseno en la circunferencia goniométrica:

I en los extremos de cada cuadrante:

$$ \begin{array}{lcccc} \alpha: & 0^\circ & 90^\circ & 180^\circ & 270^\circ \\ \sin(\alpha) & 0 & 1 & 0 & -1 \\ \cos(\alpha) & 1 & 0 & -1 & 0 \\ \tan(\alpha) & 0 & \rightarrow\infty & 0 & \rightarrow-\infty \\ \end{array}$$

Ángulos complementarios

Se dice que dos ángulos $$x$$ y $$y$$ son complementarios si su suma es un ángulo recto. O sea,

• Si $$x+y=90^\circ$$ con $$x$$, $$y$$ expresados en grados sexagesimales
• Si $$x+y=\dfrac{\pi}{2}$$ con $$x$$, $$y$$ expresados en radianes.

Además, si dos ángulos complementarios son adyacentes, los lados no comunes forman un ángulo recto. Por ejemplo, si $$x=30^\circ$$, su ángulo complementario es $$y=60^\circ$$, dado que $$x+y=30+60=90^\circ$$.

En la figura siguiente, veremos además la relación existente entre el seno y el coseno:

A la vista de la figura anterior, pues, vemos que se cumplen las siguientes relaciones:

$$\sin(\dfrac{\pi}{2}-\alpha)=\cos(\alpha)$$

$$\cos(\dfrac{\pi}{2}-\alpha)=\sin(\alpha)$$

$$\tan(\dfrac{\pi}{2}-\alpha)=\cot(\alpha)$$