Exercicis de Relacions trigonomètriques per a un mateix angle

Desenvolupament:

Utilitzant la següent relació, podem trobar el cosinus d'aquest angle: $$1+{\tan }^2(\alpha )={\displaystyle \frac{1}{{\cos }^2(\alpha )}}\Rightarrow {\cos }^2(\alpha )={\displaystyle \frac{1}{1+{\tan }^2(\alpha )}}$$ Substituint en el nostre cas, obtenim: $${\cos }^2(\alpha )={\displaystyle \frac{1}{1+{\tan }^2(\alpha )}}={\displaystyle \frac{1}{1+2^2}}={\displaystyle \frac{1}{5}}\Rightarrow \cos (\alpha )=\pm \sqrt{{\displaystyle \frac{1}{5}}}=\pm {\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{5}}$$

A partir de la següent relació tenim: $${\sin }^2(\alpha )+{\cos }^2(\alpha )=1\Rightarrow {\sin }^2(\alpha )=1-{\cos }^2(\alpha )$$ Substituint en el nostre cas: $${\sin }^2(\alpha )=1-{\cos }^2(\alpha )=1-{\displaystyle \frac{1}{5}}={\displaystyle \frac{5-1}{5}}={\displaystyle \frac{4}{5}}\Rightarrow \sin (\alpha )=\pm \sqrt{{\displaystyle \frac{4}{5}}}=\pm {\displaystyle \frac{2}{\sqrt{5}}}=\pm {\displaystyle \frac{2\sqrt{5}}{5}}$$ Tenint en compte que $0<\alpha <{90}^{\circ }$, el cosinus i el sinus prenen valors positius. Per tant la solució correcta resulta de prendre les determinacions positives.

Solució:

$\sin (\alpha )={\displaystyle \frac{2\sqrt{5}}{5}}$

$\cos (\alpha )={\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{5}}$

Amagar desenvolupament i solució