Sabent que $$\tan(\alpha)=2$$ i que $$0 < \alpha < 90^\circ$$, calcular la resta de raons trigonomètriques.
Desenvolupament:
Utilitzant la següent relació, podem trobar el cosinus d'aquest angle: $$$1+\tan^2(\alpha)=\dfrac{1}{\cos^2(\alpha)} \Rightarrow \cos^2(\alpha)=\dfrac{1}{1+\tan^2(\alpha)}$$$ Substituint en el nostre cas, obtenim: $$$\cos^2(\alpha)=\dfrac{1}{1+\tan^2(\alpha)}=\dfrac{1}{1+2^2}=\dfrac{1}{5} \Rightarrow \cos(\alpha)=\pm\sqrt{\dfrac{1}{5}}=\pm\dfrac{\sqrt{5}}{5}$$$
A partir de la següent relació tenim: $$$\sin^2(\alpha)+\cos^2(\alpha)=1 \Rightarrow \sin^2(\alpha)=1-\cos^2(\alpha)$$$ Substituint en el nostre cas: $$$\sin^2(\alpha)=1-\cos^2(\alpha)=1-\dfrac{1}{5}=\dfrac{5-1}{5}=\dfrac{4}{5} \Rightarrow \sin(\alpha)=\pm\sqrt{\dfrac{4}{5}}=\pm\dfrac{2}{\sqrt{5}}=\pm\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$$$ Tenint en compte que $$0 < \alpha < 90^\circ$$, el cosinus i el sinus prenen valors positius. Per tant la solució correcta resulta de prendre les determinacions positives.
Solució:
$$\sin(\alpha)=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$$
$$\cos(\alpha)=\dfrac{\sqrt{5}}{5}$$