Ejercicios de Relaciones trigonométricas para un mismo ángulo

Desarrollo:

Utilizando la siguiente relación, podemos encontrar el coseno de dicho ángulo: $$1+{\tan }^2(\alpha )={\displaystyle \frac{1}{{\cos }^2(\alpha )}}\Rightarrow {\cos }^2(\alpha )={\displaystyle \frac{1}{1+{\tan }^2(\alpha )}}$$ Sustituyendo en nuestro caso, obtenemos: $${\cos }^2(\alpha )={\displaystyle \frac{1}{1+{\tan }^2(\alpha )}}={\displaystyle \frac{1}{1+2^2}}={\displaystyle \frac{1}{5}}\Rightarrow \cos (\alpha )=\pm \sqrt{{\displaystyle \frac{1}{5}}}=\pm {\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{5}}$$

A partir de la siguiente relación tenemos $${\sin }^2(\alpha )+{\cos }^2(\alpha )=1\Rightarrow {\sin }^2(\alpha )=1-{\cos }^2(\alpha )$$ Sustituyendo en nuestro caso: $${\sin }^2(\alpha )=1-{\cos }^2(\alpha )=1-{\displaystyle \frac{1}{5}}={\displaystyle \frac{5-1}{5}}={\displaystyle \frac{4}{5}}\Rightarrow \sin (\alpha )=\pm \sqrt{{\displaystyle \frac{4}{5}}}=\pm {\displaystyle \frac{2}{\sqrt{5}}}=\pm {\displaystyle \frac{2\sqrt{5}}{5}}$$ Teniendo en cuenta que $0<\alpha <{90}^{\circ }$, el coseno y el seno toman valores positivos. Por lo tanto la solución correcta resulta de tomar las determinaciones positivas.

Solución:

$\sin (\alpha )={\displaystyle \frac{2\sqrt{5}}{5}}$

$\cos (\alpha )={\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{5}}$

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