Relaciones trigonométricas para un mismo ángulo

Conocida cierta razón trigonométrica de un ángulo, se puede calcular fácilmente el resto vía las siguientes relaciones:

$\sin^{2} α + \cos^{2} α = 1$
$1 + \tan^{2} α = \frac{1}{\cos^{2} α} = \sec^{2} α$

De este modo si, por ejemplo, queremos conocer las razones trigonométricas de un ángulo $α$ , sólo nos hace falta conocer una de ellas y el cuadrante donde pertenece el ángulo.

Supongamos tenemos un ángulo $α$ del que sabemos que $\sin α = \frac{1}{2}$ y que pertenece al primer cuadrante, calcular su tangente y su coseno es fácil.

Ejemplo

$\sin^{2} α + \cos^{2} α = 1 \Rightarrow \frac{1}{4} + \cos^{2} α = 1 \Rightarrow \cos^{2} = \frac{3}{4} \Rightarrow$ $\Rightarrow \cos α = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$1 + \tan^{2} α = \frac{1}{\cos^{2} α} \Rightarrow \tan^{2} α = \frac{1}{\frac{3}{4}} - 1 = \frac{4}{3} - 1 = \frac{1}{3} \Rightarrow$ $\Rightarrow \tan α = \sqrt{\frac{1}{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$