Razones trigonométricas

A partir de ahora vamos a tomar como unidades los radianes, en lugar de los grados sexagesimales. Pasar de unos a otros es fácil a través de la relación ${180}^{\circ }=\pi$ rad.

Las razones trigonométricas de $\alpha$, si ${\displaystyle \frac{\pi }{2}<\alpha <\pi }$

Supongamos que ahora queremos calcular las razones trigonométricas de un ángulo $\alpha$ con ${\displaystyle \frac{\pi }{2}<\alpha <\pi }$.

Entonces se tiene: $$\begin{array}{rcl}\sin \alpha & =& \sin (\pi -\alpha )\\ \cos \alpha & =& -\cos (\pi -\alpha )\\ \tan \alpha & =& -\tan (\pi -\alpha )\end{array}$$

Por lo tanto, a partir de estas igualdades ya tenemos definido las razones trigonométricas para ángulos de $0<\alpha <\pi$, puesto que $\pi -\alpha$ es un ángulo agudo y por lo tanto sabemos calcularle el seno, el coseno y la tangente.

Las razones trigonométricas de $\alpha$, si $\pi <\alpha <{\displaystyle \frac{3\pi }{2}}$

Si $\pi <\alpha <{\displaystyle \frac{3\pi }{2}}$, se tiene: $$\begin{array}{rcl}\sin \alpha & =& -\sin (\alpha -\pi )\\ \cos \alpha & =& -cos(\alpha -\pi )\\ \tan \alpha & =& tan(\alpha -\pi )\end{array}$$ Por lo tanto, a partir de estas igualdades y las del punto anterior, ya tenemos definido las razones trigonométricas para ángulos de $0<\alpha <{\displaystyle \frac{3\pi }{2}}$.

Las razones trigonométricas de $\alpha$, si ${\displaystyle \frac{3\pi }{2}<\alpha <2\pi }$

Si ${\displaystyle \frac{3\pi }{2}<\alpha <2\pi }$, se tiene: $$\begin{array}{rcl}\sin \alpha & =& -\sin (2\pi -\alpha )\\ \cos \alpha & =& cos(2\pi -\alpha )\\ \tan \alpha & =& -tan(2\pi -\alpha )\end{array}$$ Por lo tanto a partir de estas igualdades y todas la anteriores, ya tenemos definidas la razones trigonométricas para ángulos de $0<\alpha <2\pi$.

Ángulos particulares

Ahora definimos las razones trigonométricas para los ángulos de ${\displaystyle 0,\frac{\pi }{2},\pi ,\frac{3\pi }{2}}$ y $2\pi$ rad. $$\begin{gathered} \begin{array}{rcl}\sin 0& =& \sin (2\pi )=0\\ \cos 0& =& \cos (2\pi )=1\\ \tan 0& =& \tan (2\pi )=0\end{array} \\ {\displaystyle \begin{array}{rcl}\sin (\frac{\pi }{2})& =& 1\\ \cos (\frac{\pi }{2})& =& 0\end{array}} \\ \begin{array}{rcl}\sin \pi & =& 0\\ \cos \pi & =& -1\\ \tan \pi & =& 0\end{array} \\ {\displaystyle \begin{array}{rcl}\sin (\frac{3\pi }{2})& =& -1\\ \cos (\frac{3\pi }{2})& =& 0\end{array}} \end{gathered}$$ Es necesario remarcar que la tangente no está definida para los ángulos de ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$ y ${\displaystyle \frac{3\pi }{2}}$.

Periodicidad

Tenemos definidas las razones trigonométricas para todo ángulo $\alpha$ con $0\le \alpha \le 2\pi$. Vamos a extender esta definición para todo $\alpha$ real, mediante: $$\begin{array}{rcl}\sin \alpha & =& \sin (\alpha +2\pi )\\ \cos \alpha & =& \cos (\alpha +2\pi )\\ \tan \alpha & =& \tan (\alpha +2\pi )\end{array}$$ teniendo en cuenta siempre que la tangente no estará definida en todos los puntos que resulten de sumar un múltiplo de $2\pi$ a ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$ ó ${\displaystyle \frac{3\pi }{2}}$.

Por este motivo se dice que las funciones trigonométricas son funciones periódicas de periodo $2\pi$.