Raons trigonomètriques

A partir d'ara anem a prendre com a unitats els radians, en lloc dels graus sexagesimals. Passar dels uns als altres és fàcil a través de la relació ${180}^{\circ }=\pi$ rad.

Les raons trigonomètriques d'$\alpha$, si ${\displaystyle \frac{\pi }{2}<\alpha <\pi }$

Suposem que ara volem calcular les raons trigonomètriques d'un angle $\alpha$ amb ${\displaystyle \frac{\pi }{2}<\alpha <\pi }$.

Llavors es té: $$\begin{array}{rcl}\sin \alpha & =& \sin (\pi -\alpha )\\ \cos \alpha & =& -\cos (\pi -\alpha )\\ \tan \alpha & =& -\tan (\pi -\alpha )\end{array}$$

Per tant, a partir d'aquestes igualtats ja tenim definides les raons trigonomètriques per angles de $0<\alpha <\pi$, ja que $\pi -\alpha$ és un angle agut i per tant sabem calcular el sinus, el cosinus i la tangent.

Les raons trigonomètriques d'$\alpha$, si $\pi <\alpha <{\displaystyle \frac{3\pi }{2}}$

Si $\pi <\alpha <{\displaystyle \frac{3\pi }{2}}$, es té: $$\begin{array}{rcl}\sin \alpha & =& -\sin (\alpha -\pi )\\ \cos \alpha & =& -cos(\alpha -\pi )\\ \tan \alpha & =& tan(\alpha -\pi )\end{array}$$ Per tant, a partir d'aquestes igualtats i les del punt anterior, ja tenim definides les raons trigonomètriques per angles de $0<\alpha <{\displaystyle \frac{3\pi }{2}}$.

Les raons trigonomètriques d'$\alpha$, si ${\displaystyle \frac{3\pi }{2}<\alpha <2\pi }$

Si ${\displaystyle \frac{3\pi }{2}<\alpha <2\pi }$, es té: $$\begin{array}{rcl}\sin \alpha & =& -\sin (2\pi -\alpha )\\ \cos \alpha & =& cos(2\pi -\alpha )\\ \tan \alpha & =& -tan(2\pi -\alpha )\end{array}$$ Per tant a partir d'aquestes igualtats i totes les anteriors, ja tenim definides les raons trigonomètriques per angles de $0<\alpha <2\pi$.

Angles particulars

Fixem-nos que encara no hem definit les raons trigonomètriques per als angles de ${\displaystyle 0,\frac{\pi }{2},\pi ,\frac{3\pi }{2}}$ i $2\pi$ rad. Doncs bé les definim com: $$\begin{gathered} \begin{array}{rcl}\sin 0& =& \sin (2\pi )=0\\ \cos 0& =& \cos (2\pi )=1\\ \tan 0& =& \tan (2\pi )=0\end{array} \\ {\displaystyle \begin{array}{rcl}\sin (\frac{\pi }{2})& =& 1\\ \cos (\frac{\pi }{2})& =& 0\end{array}} \\ \begin{array}{rcl}\sin \pi & =& 0\\ \cos \pi & =& -1\\ \tan \pi & =& 0\end{array} \\ {\displaystyle \begin{array}{rcl}\sin (\frac{3\pi }{2})& =& -1\\ \cos (\frac{3\pi }{2})& =& 0\end{array}} \end{gathered}$$ Cal remarcar que la tangent no està definida per els angles de ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$ i ${\displaystyle \frac{3\pi }{2}}$.

Periodicitat

Tenim definides les raons trigonomètriques per a tot angle $\alpha$ amb $0\le \alpha \le 2\pi$. Anem a estendre aquesta definició per a tot $\alpha$ real, mitjançant: $$\begin{array}{rcl}\sin \alpha & =& \sin (\alpha +2\pi )\\ \cos \alpha & =& \cos (\alpha +2\pi )\\ \tan \alpha & =& \tan (\alpha +2\pi )\end{array}$$ tenint en compte sempre que la tangent no estarà definida en tots els punts que resultin de sumar un múltiple de $2\pi$ a ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$ ó ${\displaystyle \frac{3\pi }{2}}$.

Per aquest motiu es diu que les funcions trigonomètriques són funcions periòdiques de període $2\pi$.