Coneguda certa raó trigonomètrica d'un angle, es pot calcular fàcilment la resta mitjançant les següents relacions:
- $$\sin^2 \alpha +\cos ^2 \alpha =1$$
- $$\displaystyle 1+\tan^2 \alpha=\frac{1}{\cos ^2\alpha}= \sec^2 \alpha$$
D'aquesta manera si, per exemple, volem conèixer les raons trigonomètriques d'un angle $$\alpha$$, només ens cal conèixer una d'elles i el quadrant on pertany l'angle.
Suposem que tenim un angle $$\alpha$$ del que sabem que $$\sin\alpha =\displaystyle \frac{1}{2}$$ i que pertany al primer quadrant, calcular la seva tangent i el seu cosinus és fàcil.
$$$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha = 1 \Rightarrow \displaystyle \frac{1}{4}+\cos^2 \alpha =1 \Rightarrow \cos^2=\frac{3}{4} \Rightarrow $$$ $$$\Rightarrow \cos \alpha =\sqrt{\frac{3}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$$
$$$1+\tan^2\alpha =\displaystyle \frac{1}{\cos^2\alpha }\Rightarrow \tan^2 \alpha =\frac{1}{\frac{3}{4}}-1=\frac{4}{3}-1 =\frac{1}{3} \Rightarrow $$$ $$$ \Rightarrow \tan \alpha =\sqrt{\frac{1}{3}} =\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$$$