Relacions trigonomètriques per a un mateix angle

Coneguda certa raó trigonomètrica d'un angle, es pot calcular fàcilment la resta mitjançant les següents relacions:

$\sin^{2} α + \cos^{2} α = 1$
$1 + \tan^{2} α = \frac{1}{\cos^{2} α} = \sec^{2} α$

D'aquesta manera si, per exemple, volem conèixer les raons trigonomètriques d'un angle $α$ , només ens cal conèixer una d'elles i el quadrant on pertany l'angle.

Suposem que tenim un angle $α$ del que sabem que $\sin α = \frac{1}{2}$ i que pertany al primer quadrant, calcular la seva tangent i el seu cosinus és fàcil.

Exemple

$\sin^{2} α + \cos^{2} α = 1 \Rightarrow \frac{1}{4} + \cos^{2} α = 1 \Rightarrow \cos^{2} = \frac{3}{4} \Rightarrow$ $\Rightarrow \cos α = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$1 + \tan^{2} α = \frac{1}{\cos^{2} α} \Rightarrow \tan^{2} α = \frac{1}{\frac{3}{4}} - 1 = \frac{4}{3} - 1 = \frac{1}{3} \Rightarrow$ $\Rightarrow \tan α = \sqrt{\frac{1}{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$