S'entén per resoldre un triangle trobar tots els costats i tots els angles del triangle. Per fer-ho utilitzarem:
- El teorema del sinus.
- El teorema del cosinus.
- Que la suma dels rectangles d'un triangle és sempre $$180$$ graus (o $$\pi$$ rad).
Ara anem a classificar tots els possibles casos en què podrem resoldre el triangle. La tercera relació ens permet considerar com el mateix cas, el triangle de què coneixem 3 angles del que només coneixem dos, ja que és directe calcular el tercer angle a partir dels altres dos tenint en compte que la suma dels angles d'un triangle és sempre $$180^\circ$$. Per tant, donarem per resolt el triangle un cop obtinguts els tres costats i dos angles.
-
Donat un triangle del qual coneixem els $$3$$ costats i:
-
$$1$$ angle: A partir del teorema del sinus o el del cosinus calculem un altre angle i per tant, hem resolt el triangle.
- $$0$$ angles: A partir del teorema del cosinus, podem calcular un angle. Llavors estem en el cas $$1.1.$$
-
-
Donat un triangle del qual coneixem $$2$$ costats i:
-
$$2$$ angles: A partir del teorema del cosinus o el del sinus trobem el tercer costat, resolent el triangle.
- $$1$$ angle: Depèn de quin angle coneguem en relació als costats coneguts.
- Si l'angle conegut és el que formen els costats coneguts, aplicarem el teorema del cosinus, obtenint el tercer costat i procedim com en el cas $$1.1$$.
-
Si l'angle conegut no és el format pels costats coneguts, tindrem dues opcions: utilitzar el teorema del cosinus resolent l'equació de 2n grau per obtenir l'altre costat i procedir com en $$(1.1)$$ o utilitzar el teorema del sinus per trobar altre angle i procedir com en $$(2.1)$$. Cal destacar que en aquest cas la solució pot no ser única. Mitjançant el teorema del cosinus tenim una equació de segon grau a resoldre i per tant podem tenir dues solucions positives (amb sentit geomètric). D'altra banda sempre que utilitzem el teorema del sinus per trobar un angle també obtenim dues possibles angles, ja que el si sempre té dues solucions que estan en el 1r i 2n quadrant, que, per tant, són vàlides ja que les dues són menors de $$180^\circ$$ (cosa que no passa amb el cosinus, ja que l'altra solució pertany al 4t quadrant i no té sentit geomètricament). Podem dir com a conclusió que en aquest cas, és probable que trobem $$2, 1$$ o cap solució.
- $$0$$ angles: Hi ha infinites solucions, no podrem resoldre el triangle.
-
-
Donat un triangle del qual coneixem $$1$$ costat i:
- $$2$$ angles: A partir del teorema del sinus trobem un altre costat i procedim com en $$(2.1)$$.
- $$1$$ ó $$0$$ angles: Hi ha infinites solucions, no podrem resoldre el triangle.
- Donat un triangle del qual coneixem $$0$$ costats i:
- $$2$$ angles: Hi ha infinites solucions, és a dir hi ha infinits triangles que tenen aquests dos angles, però tots són semblants.
- $$1$$ ó $$0$$ angles: Hi ha infinites solucions, no podrem resoldre el triangle.
Anem a resoldre un cas en què tinguem com a dada un costat, $$a=5$$ cm i dos angles, $$B=45^\circ$$ i $$C=60^\circ$$. Per tant estem en el cas $$3.1.$$
Així doncs, apliquem el teorema del sinus. Per aplicar-ho ens cal conèixer el tercer angle, però, com ja hem dit, coneixent dos angles és directe conèixer el tercer gràcies a $$A+B+C=180^\circ$$ i per tant: $$A=180^\circ-60^\circ-45^\circ=75^\circ$$.
Tenim: $$$\displaystyle \frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B} \Rightarrow b=\frac{5 \sin 45^\circ}{sin 74^\circ}=\frac{5 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{0.9656}=3.66 \mbox{ cm }$$$ Ara ja tenim $$2$$ angles i dos costats, per tant, estem en el punt $$2.1$$ i per tant apliquem el teorema del cosinus per trobar el tercer costat: $$$\displaystyle c^2=a^2+b^2-2bc\cos C=25+13.40-36.60 \cdot \cos 60=$$$ $$$\displaystyle =25+13.40-36.60\cdot \frac{1}{2}=20.10 \Rightarrow c= 4.48 \mbox{ cm }$$$ D'aquesta manera hem resolt el triangle.