Resolución de triángulos

Se entiende resolver un triángulo como encontrar todos los lados y todos los ángulos del triángulo. Para hacerlo utilizaremos:

1. El teorema del seno.
2. El teorema del coseno.
3. Que la suma de los ángulos de un triángulo es siempre $$180$$ grados (o $$\pi$$ rad).

Ahora vamos a clasificar todos los posibles casos en que podremos resolver el triángulo. La tercera relación nos permite considerar como el mismo caso el triángulo del cual conocemos $$3$$ ángulos del que sólo conocemos dos, ya que es directo calcular el tercer ángulo a partir de los otros dos teniendo en cuenta que la suma de los ángulos de un triángulo es siempre $$180^\circ$$. Por lo tanto, daremos por resuelto el triángulo una vez obtenidos los tres lados y dos ángulos.

1. Dado un triángulo del que conocemos los $$3$$ lados y:

   1. $$1$$ ángulo: A partir del teorema del seno o el del coseno calculamos otro ángulo y por consiguiente, hemos resuelto el triángulo.

   2. $$0$$ ángulos: A partir del teorema del coseno, podemos calcular un ángulo. Entonces estamos en el caso $$1.1.$$

2. Dado un triángulo del que conocemos $$2$$ lados y:

   1. $$2$$ ángulos: A partir del teorema del coseno o el del seno encontramos el tercer lado, resolviendo el triángulo.

   2. $$1$$ ángulo: Depende de qué ángulo conozcamos en relación a los lados conocidos:

   3. Si el ángulo conocido es el que forman los lados conocidos, aplicaremos el teorema del coseno, obteniendo el tercer lado y procedemos como en el caso $$1.1$$.

   4. Si el ángulo conocido no es el formado por los lados conocidos, tendremos dos opciones: utilizar el teorema del coseno resolviendo la ecuación de 2º grado para obtener el otro lado y proceder como en $$1.1$$ o utilizar el teorema del seno para hallar otro ángulo y proceder como en $$2.1$$. Cabe destacar que en este caso la solución puede no ser única. Por medio del teorema del coseno tenemos una ecuación de segundo grado a resolver y por lo tanto podemos tener dos soluciones positivas (con sentido geométrico). Por otra parte siempre que utilizamos el teorema del seno para encontrar un ángulo también obtenemos dos posibles ángulos, ya que el seno siempre tiene dos soluciones que están en el 1r y 2º cuadrante, que, por lo tanto, son válidas ya que las dos son menores de $$180^\circ$$ (cosa que no pasa con el coseno, ya que la otra solución pertenece al 4º cuadrante y no tiene sentido geométricamente). Podemos decir como conclusión que en este caso, es probable que encontremos $$2$$, $$1$$ ó ninguna solución.

   5. $$0$$ ángulos: Existen infinitas soluciones, no podremos resolver el triángulo.

3. Dado un triángulo del que conocemos $$1$$ lado y:

   1. $$2$$ ángulos: A partir del teorema del seno encontramos otro lado y procedemos como $$(2.1)$$.
   2. $$1$$ ó $$0$$ ángulos: Hay infinitas soluciones, no podremos resolver el triángulo.

4. Dado un triángulo del que conocemos $$0$$ lados y:

   1. $$2$$ ángulos: Hay infinitas soluciones, es decir existen infinitos triángulos que tienen esos dos ángulos, pero todos son semejantes.
   2. $$1$$ ó $$0$$ ángulos: Hay infinitas soluciones, no podremos resolver el triángulo.