Resolución de ecuaciones trigonométricas

Para resolver una ecuación trigonométrica seguiremos los siguientes pasos:

1) Desarrollamos la expresiones, hasta obtener una sola expresión trigonométrica igualada a un número.

2) Obtendremos una igualdad de las siguientes: $\begin{array}{rcl} \sin u & = & a \\ \cos u & = & b \\ \tan u & = & c \end{array}$ donde $u$ es una función de $x$ .

3) Resolvemos cada uno de los casos tomando el arco de las funciones correspondientes en los dos miembros:

$\sin u = a \Rightarrow \arcsin (\sin u) = \arcsin a \Rightarrow$

$u = {\begin{cases} \arcsin a + 2 k \cdot π \\ (π - \arcsin a) + 2 k \cdot π \end{cases}, k \in Z$

$\cos u = b \Rightarrow \arccos (\cos u) = \arccos b \Rightarrow$

$u = {\begin{cases} \arccos b + 2 k \cdot π \\ (2 π - \arccos b) + 2 k \cdot π \end{cases}, k \in Z$

$\tan u = c \Rightarrow \arctan (\tan u) = \arctan c \Rightarrow u = \arctan c + π \cdot k$

4) Una vez encontrada $u$ , despejamos la $x$ .

Ejemplo

Vamos a resolver la siguiente ecuación trigonométrica: $\sin^{2} x - \cos^{2} x = \frac{1}{2}$

Primero de todo aislamos de la ecuación el $\sin^{2} x$ : $\sin^{2} x = \frac{1}{2} + \cos^{2} x$

A partir de la relación $\sin^{2} x + \cos^{2} x = 1 \Rightarrow \cos^{2} x = 1 - \sin^{2} x$ Sustituyendo en nuestra ecuación: $s i n^{2} x = \frac{1}{2} + \cos^{2} x = \frac{1}{2} + 1 - \sin^{2} x = \frac{3}{2} - s i n^{2} x \Rightarrow 2 \sin^{2} x = \frac{3}{2} \Rightarrow$ $\Rightarrow \sin^{2} x = \frac{3}{4} \Rightarrow \sin x = \pm \sqrt{\frac{3}{4}} = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$ Ahora ya hemos conseguido obtener una razón trigonométrica igualada a un número.

Aplicamos ahora la relación 3.i en los dos posibles casos:

Caso (a): $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow x = {\begin{cases} \frac{π}{3} + 2 π \cdot k \\ π - \frac{π}{3} + 2 π \cdot k = \frac{2 π}{3} + 2 π \cdot k \end{cases}, k \in Z$

Caso (b): $\sin x = - \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow x = {\begin{cases} - \frac{π}{3} + 2 π \cdot k \\ π + \frac{π}{3} + 2 π \cdot k = \frac{4 π}{3} + 2 π \cdot k \end{cases}, k \in Z$ Así pues obtenemos la siguiente solución: $x = {\begin{cases} \frac{π}{3} + 2 π \cdot k \\ \frac{2 π}{3} + 2 π \cdot k \\ - \frac{π}{3} + 2 π \cdot k \\ \frac{4 π}{3} + 2 π \cdot k \end{cases}, k \in Z$