Resolució d'equacions trigonomètriques

Per resoldre una equació trigonomètrica seguirem els següents passos:

1) Desenvolupem les expressions, fins a obtenir una sola expressió trigonomètrica igualada a un nombre.

2) Obtindrem una igualtat de les següents: sinu=acosu=btanu=c on u és una funció de x.

3) Resolem cada un dels casos prenent l'arc de les funcions corresponents en els dos membres:

sinu=aarcsin(sinu)=arcsina

u={arcsina+2kπ(πarcsina)+2kπ,kZ

cosu=barccos(cosu)=arccosb

u={arccosb+2kπ(2πarccosb)+2kπ,kZ

tanu=carctan(tanu)=arctancu=arctanc+πk

4) Un cop trobada u, aïllem la x.

Exemple

Anem a resoldre la següent equació trigonomètrica: sin2xcos2x=12

Primer de tot aïllem de l'equació el sin2x: sin2x=12+cos2x

A partir de la relació sin2x+cos2x=1cos2x=1sin2x Substituint en la nostra equació: sin2x=12+cos2x=12+1sin2x=32sin2x2sin2x=32 sin2x=34sinx=±34=±32 Ara ja hem aconseguit obtenir una raó trigonomètrica igualada a un nombre.

Apliquem ara la relació 3.i en els dos possibles casos:

Cas (a): sinx=32x={π3+2πkππ3+2πk=2π3+2πk,kZ

Cas (b): sinx=32x={π3+2πkπ+π3+2πk=4π3+2πk,kZ Així doncs obtenim la següent solució: x={π3+2πk2π3+2πkπ3+2πk4π3+2πk,kZ