Exercicis de Repartiments proporcionals: directes i inversos

Desenvolupament:

El primer que cal veure és que si el repartiment és inversament proporcional, el que hagi trigat menys temps es portarà més caramels i viceversa.

Si s'anomena $x$ als caramels que li toquen a la Patricia, $y$ als que mereix la Paula i $z$ els que se'n portarà el Pau, la relació del repartiment serà la següent:

${\displaystyle \frac{x}{\frac{1}{2}}}={\displaystyle \frac{y}{\frac{1}{3}}}={\displaystyle \frac{z}{\frac{1}{4}}}$

Ara hi ha una fracció comparable a les anteriors per la regla de la suma:

${\displaystyle \frac{x}{\frac{1}{2}}}={\displaystyle \frac{y}{\frac{1}{3}}}={\displaystyle \frac{z}{\frac{1}{4}}}={\displaystyle \frac{C}{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}}}$

Si s'opera el denominador amb la suma de fraccions tenim que:

${\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{3}}+{\displaystyle \frac{1}{4}}={\displaystyle \frac{6+4+3}{12}}={\displaystyle \frac{13}{12}}$

Amb aquesta dada i sabent que, tal com especifica l'enunciat, el total de caramels a repartir $C$ és de $65$:

${\displaystyle \frac{x}{\frac{1}{2}}}={\displaystyle \frac{y}{\frac{1}{3}}}={\displaystyle \frac{z}{\frac{1}{4}}}={\displaystyle \frac{65}{\frac{13}{12}}}$

De manera que:

$2x=3y=4z={\displaystyle \frac{12\cdot 65}{13}}\Rightarrow 2x=3y=4z={\displaystyle \frac{780}{13}}\Rightarrow 2x=3y=4z=60$

Per tant, a la Patricia li corresponen:

$2x=60\Rightarrow x={\displaystyle \frac{60}{2}}=30$ caramels

En canvi, a la Paula li toquen:

$3y=60\Rightarrow y={\displaystyle \frac{60}{3}}=20$ caramels

I el Pau es queda amb:

$4z=60\Rightarrow z={\displaystyle \frac{60}{4}}=15$ caramels

Solució:

$30$ caramels a la Patricia, $20$ a la Paula i $15$ al Pau.

Amagar desenvolupament i solució