Ejercicios de Repartos proporcionales: directos e inversos

Desarrollo:

Lo primero que hay que ver es que si el reparto es inversamente proporcional, el que haya tardado menos tiempo se llevará más caramelos y viceversa.

Si se denomina $x$ a los caramelos que le tocan a Patricia, $y$ a los que merece Paula y $z$ los que se llevará Pablo, la relación del reparto será la siguiente:

${\displaystyle \frac{x}{\frac{1}{2}}}={\displaystyle \frac{y}{\frac{1}{3}}}={\displaystyle \frac{z}{\frac{1}{4}}}$

Ahora se halla una fracción comparable a las anteriores por la regla de la suma:

${\displaystyle \frac{x}{\frac{1}{2}}}={\displaystyle \frac{y}{\frac{1}{3}}}={\displaystyle \frac{z}{\frac{1}{4}}}={\displaystyle \frac{C}{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}}}$

Si se opera el denominador con la suma de fracciones se tiene que:

${\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{3}}+{\displaystyle \frac{1}{4}}={\displaystyle \frac{6+4+3}{12}}={\displaystyle \frac{13}{12}}$

Con este dato y sabiendo que, tal como especifica el enunciado, el total de caramelos a repartir $C$ es de $65$:

${\displaystyle \frac{x}{\frac{1}{2}}}={\displaystyle \frac{y}{\frac{1}{3}}}={\displaystyle \frac{z}{\frac{1}{4}}}={\displaystyle \frac{65}{\frac{13}{12}}}$

De modo que:

$2x=3y=4z={\displaystyle \frac{12\cdot 65}{13}}\Rightarrow 2x=3y=4z={\displaystyle \frac{780}{13}}\Rightarrow 2x=3y=4z=60$

Por tanto, a Patricia le corresponden:

$2x=60\Rightarrow x={\displaystyle \frac{60}{2}}=30$ caramelos

En cambio, a Paula le tocan:

$3y=60\Rightarrow y={\displaystyle \frac{60}{3}}=20$ caramelos

Y Pablo se queda con:

$4z=60\Rightarrow z={\displaystyle \frac{60}{4}}=15$ caramelos

Solución:

$30$ caramelos a Patricia, $20$ a Paula y $15$ a Pablo.

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