Repartos proporcionales: directos e inversos

Ejemplo

Un abuelo decide repartir $6.000$ € entre sus tres nietos, pero en vez de darles un tercio a cada uno prefiere hacerlo de forma proporcional a la edad de cada nieto, que tienen $7,12$ y $21$ años. ¿Cuánto recibirá cada uno de ellos?

Para encarar este tipo de problemas habrá que asignar una incógnita a cada uno de las partes, de modo que:

La cantidad que le corresponde al nieto de $7$ años se denominará $x$, la del nieto de $12$ años será $y$, y la del de $21$ años será $z$.

Como el abuelo ha decidido, por la razón que sea, repartir el dinero en función de la edad, al nieto más joven le tocarán ${\displaystyle \frac{x}{7}}$ partes del total, al mediano ${\displaystyle \frac{y}{12}}$ partes y al mayor ${\displaystyle \frac{z}{21}}$ partes. La relación se puede esquematizar del siguiente modo:

$${\displaystyle \frac{x}{7}}={\displaystyle \frac{y}{12}}={\displaystyle \frac{z}{21}}$$

Donde $x,y,z$, representan la cantidad que recibirá cada nieto, cuya suma será la cantidad total a repartir, es decir, los $6.000$ €.

Ejemplo

Aplicando esta regla al ejemplo se tendrá que: $${\displaystyle \frac{x}{7}}={\displaystyle \frac{y}{12}}={\displaystyle \frac{z}{21}}={\displaystyle \frac{x+y+z}{7+12+21}}={\displaystyle \frac{C}{40}}$$

Ya que la cantidad total repartida, $C=6000$ € , debe ser la suma de lo que se asigna a cada nieto $x+y+z$. Como la nueva fracción obtenida es igual a cualquiera de las demás, se puede igualar con cada incógnita, lo que permitirá hallar su valor:

El nieto más joven recibirá:

${\displaystyle \frac{x}{7}}={\displaystyle \frac{C}{40}}\Rightarrow {\displaystyle \frac{x}{7}}={\displaystyle \frac{6000}{40}}\Rightarrow 40x=7\cdot 6000\Rightarrow 40x=42.000$

$\Rightarrow x={\displaystyle \frac{42.000}{40}}=1050$ €

Al nieto mediano le tocarán:

${\displaystyle \frac{y}{12}}={\displaystyle \frac{C}{40}}\Rightarrow {\displaystyle \frac{y}{12}}={\displaystyle \frac{6000}{40}}\Rightarrow 40y=12\cdot 6000\Rightarrow 40y=72.000$

$\Rightarrow y={\displaystyle \frac{72.000}{40}}=1800$ €

Finalmente, al nieto mayor le corresponden:

${\displaystyle \frac{z}{21}}={\displaystyle \frac{C}{40}}\Rightarrow {\displaystyle \frac{z}{21}}={\displaystyle \frac{6000}{40}}\Rightarrow 40z=21\cdot 6000\Rightarrow 40z=126.000$

$\Rightarrow z={\displaystyle \frac{126.000}{40}}=3150$ €

Si la operación se ha hecho bien, la suma de las cantidades repartidas ha de ser igual al total:

$1050+1800+3150=6000$ €.

Ejemplo

Antonio, Alba y Alberto son tres camareros que siempre se reparten las propinas del mes en función de las horas diarias que trabaja cada uno. Antonio trabaja $8$ horas al día y este mes le han correspondido $124$ €. Si Alba trabaja $6$ horas al día y Alberto $4$ horas al día, ¿cuánto les corresponde a ellos? ¿A cuánto han ascendido las propinas este mes?

Lo primero que hay que observar es que se trata de un reparto directamente proporcional. Lo segundo es darse cuenta que a partir del dato de lo que recibe Antonio se puede conocer todo lo demás.

Si se denomina $x$ a la parte que le corresponde a Antonio, $y$ a la de Alba y $z$ a la de Alberto, el esquema del reparto será:

$${\displaystyle \frac{x}{8}}={\displaystyle \frac{y}{6}}={\displaystyle \frac{z}{4}}$$

Pero, de hecho, el valor de $x$ es conocido, puesto que el enunciado dice que se lleva $124$ €, así que igualar dicha fracción con cada una de las otras dos permitirá saber los datos que faltan.

A Alba le corresponderán:

${\displaystyle \frac{x}{8}}={\displaystyle \frac{y}{6}}\Rightarrow {\displaystyle \frac{124}{8}}={\displaystyle \frac{y}{6}}\Rightarrow 8y=124\cdot 6\Rightarrow$

$8y=744\Rightarrow y={\displaystyle \frac{744}{8}}=93$ €

Mientras que a Alberto le corresponden:

${\displaystyle \frac{x}{8}}={\displaystyle \frac{z}{4}}\Rightarrow {\displaystyle \frac{124}{8}}={\displaystyle \frac{z}{4}}\Rightarrow 8z=124\cdot 4\Rightarrow$

$8z=496\Rightarrow z={\displaystyle \frac{496}{8}}=62$ €

Ahora, para saber a cuánto ascendía el total de propinas la opción más rápida consiste en sumar directamente las cantidades que se lleva cada camarero:

$124+93+62=279$ €