Una regla de tres compuesta está formada por varias reglas de tres simples y se utiliza cuando se relacionan más de dos magnitudes.
Si $$5$$ camiones transportan $$120$$ toneladas de mercancía en $$2$$ días, ¿qué cantidad de mercancía transportarán $$7$$ camiones en $$3$$ días?
La regla de tres compuesta se puede expresar del siguiente modo:
$$\begin{eqnarray} 5\ \mbox{camiones} & \rightarrow & 120 \ \mbox{tm} & \rightarrow & 2 \ \mbox{días} \\\\ 7\ \mbox{camiones} & \rightarrow & x \ \mbox{tm} & \rightarrow & 3 \ \mbox{días} \end{eqnarray}$$
Que expresado en fracciones sería:
$$\dfrac{\frac{5}{120}}{2}=\dfrac{\frac{7}{x}}{3} \Rightarrow \dfrac{5\cdot2}{120}=\dfrac{7\cdot3}{x} \Rightarrow \dfrac{10}{120}=\dfrac{21}{x}$$
Para facilitar las operaciones, por norma general se dejará la fracción que contiene la incógnita en un lado de la igualdad, mientras que las otras dos quedarán multiplicadas en el lado contrario:
$$\dfrac{120}{x}=\dfrac{5}{7}\cdot\dfrac{2}{3}$$
Si se opera el lado sin incógnita se obtiene una regla de tres simple:
$$\dfrac{120}{x}=\dfrac{10}{21} \Rightarrow 10x=120\cdot21 \Rightarrow 10x=2520 \Rightarrow x=\dfrac{2520}{10}=252$$ tm
Es decir, los $$7$$ camiones transportarán $$252$$ tm en $$3$$ días.
Hay que remarcar que la relación de la incógnita con las otras dos magnitudes es en este caso directa: a más camiones, más toneladas transportadas; y a más días, más toneladas se podrán transportar también. La relación se puede expresar del siguiente modo:
$$\begin{eqnarray} & d & & d & \\\\ 5\ \mbox{camiones} & \rightarrow & 120 \ \mbox{tm} & \rightarrow & 2 \ \mbox{días} \\\\ 7\ \mbox{camiones} & \rightarrow & x \ \mbox{tm} & \rightarrow & 3 \ \mbox{días} \\\\ & d & & d & \end{eqnarray}$$
Donde $$d$$ expresa una relación directa.
Pero puede muy bien ser que la relación entre las magnitudes no sea directa sino inversa. En estos casos, y de manera similar a como se hacía con las reglas de tres simples, se invertirán aquellas fracciones que mantengan una relación inversa con la incógnita.
Un equipo de $$10$$ obreros trabajando $$8$$ horas al día tarda $$15$$ días en terminar un encargo. ¿Cuántas personas a media jornada se necesitarán para realizar el mismo trabajo en $$10$$ días?
Lo primero que hay que hacer es el esquema de la regla de tres analizando las relaciones entre las magnitudes:
$$\begin{eqnarray} & i & & i & \\\\ 10\ \mbox{personas} & \rightarrow & 8 \ \mbox{horas} & \rightarrow & 15 \ \mbox{días} \\\\ x\ \mbox{personas} & \rightarrow & 4 \ \mbox{horas} & \rightarrow & 10 \ \mbox{días} \\\\ & i & & i & \end{eqnarray}$$
Es decir, la relación de la incógnita con el resto de magnitudes es inversa (i): a más personas, menos horas deberán trabajar para terminar el encargo; y a más personas menos días se necesitarán para finalizar el trabajo.
Si se transforma en fracciones:
$$\dfrac{10}{x}=\dfrac{8}{4}\cdot\dfrac{15}{10}$$
Hay que invertir las fracciones del lado derecho de la igualdad:
$$\dfrac{10}{x}=\dfrac{4}{8}\cdot\dfrac{10}{15}$$
Y ahora ya se puede resolver:
$$\dfrac{10}{x}=\dfrac{4}{8}\cdot\dfrac{10}{15} \Rightarrow \dfrac{10}{x}=\dfrac{40}{120} \Rightarrow 40x=120\cdot10 \Rightarrow 40x=1200 \Rightarrow$$ $$x=\dfrac{1200}{40}=30$$ personas.
De modo que para realizar el trabajo a media jornada y en 10 días se necesitará un equipo de 30 personas.
Finalmente, en un mismo problema puede haber magnitudes directamente proporcionales a la incógnita y magnitudes inversamente proporcionales a la misma.
En una oficina central de correos, $$2$$ máquinas clasifican $$1.600$$ paquetes en $$8$$ horas. ¿Cuántas máquinas se necesitarán para clasificar $$2.400$$ paquetes en $$6$$ horas? Mediante un esquema se analizan las relaciones entre las magnitudes y la incógnita:
$$\begin{eqnarray} & d & & i & \\\\ 2\ \mbox{máquinas} & \rightarrow & 1600 \ \mbox{paquetes} & \rightarrow & 8 \ \mbox{horas} \\\\ x\ \mbox{máquinas} & \rightarrow & 2400 \ \mbox{paquetes} & \rightarrow & 6 \ \mbox{horas} \\\\ & d & & i & \end{eqnarray}$$
La relación entre las máquinas y los paquetes procesados es directa, puesto que a más máquinas en funcionamiento más paquetes se clasificarán. En cambio, la relación entre las máquinas y las horas de funcionamiento es inversa, ya que a más máquinas menos horas tendrán que estar en marcha para terminar el mismo volumen de trabajo.
Ahora, se transforma la relación en fracciones y se resuelve, teniendo en cuenta que habrá que invertir la fracción relativa a las horas de trabajo:
$$\dfrac{2}{x}=\dfrac{1600}{2400}\cdot\dfrac{8}{6} \Rightarrow \dfrac{2}{x}=\dfrac{1600}{2400}\cdot\dfrac{6}{8} \Rightarrow \dfrac{2}{x}=\dfrac{9600}{19200} \Rightarrow $$
$$\Rightarrow 9600x=2\cdot19200 \Rightarrow 9600x=38400 \Rightarrow x=\dfrac{38400}{9600}=4$$ máquinas.
De modo que se necesitarán $$4$$ máquinas para terminar el trabajo asignado en el tiempo previsto.
A la hora de plantear estos problemas lo mejor para obtener un resultado entero es partir de un resultado conocido y luego plantear la relación entre magnitudes a través del enunciado. Hay muchas relaciones cotidianas que son proporcionales directa o inversamente: desde los €/kg de un producto alimentario hasta el trabajo que pueden hacer un determinado número de personas, pasando incluso por la longitud de un documento y el tiempo que se tarda en leerlo.
Sin embargo, no es importante que el resultado sea entero. En el ejemplo anterior, con datos algo diferentes podría haber dado, por ejemplo $$4,3$$ máquinas como resultado, y no sería muy grave. Ante este resultado, los empleados de correos deberían saber que con $$4$$ máquinas se acercarán a cumplir tanto con el volumen de trabajo como con el plazo, mientras que si ponen una máquina el trabajo se terminará incluso antes de tiempo.