Regla de tres compuesta

Ejemplo

Si $5$ camiones transportan $120$ toneladas de mercancía en $2$ días, ¿qué cantidad de mercancía transportarán $7$ camiones en $3$ días?

La regla de tres compuesta se puede expresar del siguiente modo:

$\begin{array}{rclrc}5\text{camiones}& \to & 120\text{tm}& \to & 2\text{días}\\ \\ 7\text{camiones}& \to & x\text{tm}& \to & 3\text{días}\end{array}$

Que expresado en fracciones sería:

${\displaystyle \frac{\frac{5}{120}}{2}}={\displaystyle \frac{\frac{7}{x}}{3}}\Rightarrow {\displaystyle \frac{5\cdot 2}{120}}={\displaystyle \frac{7\cdot 3}{x}}\Rightarrow {\displaystyle \frac{10}{120}}={\displaystyle \frac{21}{x}}$

Para facilitar las operaciones, por norma general se dejará la fracción que contiene la incógnita en un lado de la igualdad, mientras que las otras dos quedarán multiplicadas en el lado contrario:

${\displaystyle \frac{120}{x}}={\displaystyle \frac{5}{7}}\cdot {\displaystyle \frac{2}{3}}$

Si se opera el lado sin incógnita se obtiene una regla de tres simple:

${\displaystyle \frac{120}{x}}={\displaystyle \frac{10}{21}}\Rightarrow 10x=120\cdot 21\Rightarrow 10x=2520\Rightarrow x={\displaystyle \frac{2520}{10}}=252$ tm

Es decir, los $7$ camiones transportarán $252$ tm en $3$ días.

Ejemplo

Un equipo de $10$ obreros trabajando $8$ horas al día tarda $15$ días en terminar un encargo. ¿Cuántas personas a media jornada se necesitarán para realizar el mismo trabajo en $10$ días?

Lo primero que hay que hacer es el esquema de la regla de tres analizando las relaciones entre las magnitudes:

$\begin{array}{rclrc}& i& & i& \\ \\ 10\text{personas}& \to & 8\text{horas}& \to & 15\text{días}\\ \\ x\text{personas}& \to & 4\text{horas}& \to & 10\text{días}\\ \\ & i& & i& \end{array}$

Es decir, la relación de la incógnita con el resto de magnitudes es inversa (i): a más personas, menos horas deberán trabajar para terminar el encargo; y a más personas menos días se necesitarán para finalizar el trabajo.

Si se transforma en fracciones:

${\displaystyle \frac{10}{x}}={\displaystyle \frac{8}{4}}\cdot {\displaystyle \frac{15}{10}}$

Hay que invertir las fracciones del lado derecho de la igualdad:

${\displaystyle \frac{10}{x}}={\displaystyle \frac{4}{8}}\cdot {\displaystyle \frac{10}{15}}$

Y ahora ya se puede resolver:

${\displaystyle \frac{10}{x}}={\displaystyle \frac{4}{8}}\cdot {\displaystyle \frac{10}{15}}\Rightarrow {\displaystyle \frac{10}{x}}={\displaystyle \frac{40}{120}}\Rightarrow 40x=120\cdot 10\Rightarrow 40x=1200\Rightarrow$ $x={\displaystyle \frac{1200}{40}}=30$ personas.

De modo que para realizar el trabajo a media jornada y en 10 días se necesitará un equipo de 30 personas.

Ejemplo

En una oficina central de correos, $2$ máquinas clasifican $1.600$ paquetes en $8$ horas. ¿Cuántas máquinas se necesitarán para clasificar $2.400$ paquetes en $6$ horas? Mediante un esquema se analizan las relaciones entre las magnitudes y la incógnita:

$\begin{array}{rclrc}& d& & i& \\ \\ 2\text{máquinas}& \to & 1600\text{paquetes}& \to & 8\text{horas}\\ \\ x\text{máquinas}& \to & 2400\text{paquetes}& \to & 6\text{horas}\\ \\ & d& & i& \end{array}$

La relación entre las máquinas y los paquetes procesados es directa, puesto que a más máquinas en funcionamiento más paquetes se clasificarán. En cambio, la relación entre las máquinas y las horas de funcionamiento es inversa, ya que a más máquinas menos horas tendrán que estar en marcha para terminar el mismo volumen de trabajo.

Ahora, se transforma la relación en fracciones y se resuelve, teniendo en cuenta que habrá que invertir la fracción relativa a las horas de trabajo:

${\displaystyle \frac{2}{x}}={\displaystyle \frac{1600}{2400}}\cdot {\displaystyle \frac{8}{6}}\Rightarrow {\displaystyle \frac{2}{x}}={\displaystyle \frac{1600}{2400}}\cdot {\displaystyle \frac{6}{8}}\Rightarrow {\displaystyle \frac{2}{x}}={\displaystyle \frac{9600}{19200}}\Rightarrow$

$\Rightarrow 9600x=2\cdot 19200\Rightarrow 9600x=38400\Rightarrow x={\displaystyle \frac{38400}{9600}}=4$ máquinas.

De modo que se necesitarán $4$ máquinas para terminar el trabajo asignado en el tiempo previsto.