Una regla de tres composta està formada per diverses regles de tres simples i s'utilitza quan es relacionen més de dues magnituds.
Si $$5$$ camions transporten $$120$$ tones de mercaderia en $$2$$ dies, quina quantitat de mercaderia transportaran $$7$$ camions en $$3$$ dies?
La regla de tres composta es pot expressar de la manera següent:
$$\begin{eqnarray} 5\ \mbox{camions} & \rightarrow & 120 \ \mbox{tm} & \rightarrow & 2 \ \mbox{dies} \\\\ 7\ \mbox{camions} & \rightarrow & x \ \mbox{tm} & \rightarrow & 3 \ \mbox{dies} \end{eqnarray}$$
Que expressat en fraccions seria:
$$\dfrac{\frac{5}{120}}{2}=\dfrac{\frac{7}{x}}{3} \Rightarrow \dfrac{5\cdot2}{120}=\dfrac{7\cdot3}{x} \Rightarrow \dfrac{10}{120}=\dfrac{21}{x}$$
Per facilitar les operacions, per norma general es deixarà la fracció que conté la incògnita en un costat de la igualtat, mentre que les altres dues quedaran multiplicades en el costat contrari:
$$\dfrac{120}{x}=\dfrac{5}{7}\cdot\dfrac{2}{3}$$
Si operem al costat sense incògnita s'obté una regla de tres simple:
$$\dfrac{120}{x}=\dfrac{10}{21} \Rightarrow 10x=120\cdot21 \Rightarrow 10x=2520 \Rightarrow x=\dfrac{2520}{10}=252$$ tm
És a dir, els $$7$$ camions transportaran $$252$$ tm en $$3$$ dies.
Cal remarcar que la relació de la incògnita amb les altres dues magnituds és en aquest cas directa: a més camions, més tones transportades, i a més dies, més tones es podran transportar també. La relació es pot expressar de la manera següent:
$$\begin{eqnarray} & d & & d & \\\\ 5\ \mbox{camions} & \rightarrow & 120 \ \mbox{tm} & \rightarrow & 2 \ \mbox{dies} \\\\ 7\ \mbox{camions} & \rightarrow & x \ \mbox{tm} & \rightarrow & 3 \ \mbox{dies} \\\\ & d & & d & \end{eqnarray}$$
on $$d$$ expressa una relació directa.
Però pot molt bé ser que la relació entre les magnituds no sigui directa sinó inversa. En aquests casos, i de manera similar a com es feia amb les regles de tres simples, s'invertiran aquelles fraccions que mantinguin una relació inversa amb la incògnita.
Un equip de $$10$$ obrers treballant $$8$$ hores al dia triga $$15$$ dies en acabar un encàrrec. Quantes persones a mitja jornada es necessitaran per realitzar la mateixa feina en $$10$$ dies?
El primer que cal fer és l'esquema de la regla de tres analitzant les relacions entre les magnituds:
$$\begin{eqnarray} & i & & i & \\\\ 10\ \mbox{persones} & \rightarrow & 8 \ \mbox{hores} & \rightarrow & 15 \ \mbox{dies} \\\\ x\ \mbox{persones} & \rightarrow & 4 \ \mbox{hores} & \rightarrow & 10 \ \mbox{dies} \\\\ & i & & i & \end{eqnarray}$$
És a dir, la relació de la incògnita amb la resta de magnituds és inversa (i): a més persones, menys hores hauran de treballar per acabar l'encàrrec, i a més persones menys dies es necessitaran per a finalitzar el treball.
Si es transforma en fraccions:
$$\dfrac{10}{x}=\dfrac{8}{4}\cdot\dfrac{15}{10}$$
Cal invertir les fraccions del costat dret de la igualtat:
$$\dfrac{10}{x}=\dfrac{4}{8}\cdot\dfrac{10}{15}$$
I ara ja es pot resoldre:
$$\dfrac{10}{x}=\dfrac{4}{8}\cdot\dfrac{10}{15} \Rightarrow \dfrac{10}{x}=\dfrac{40}{120} \Rightarrow 40x=120\cdot10 \Rightarrow 40x=1200 \Rightarrow$$ $$x=\dfrac{1200}{40}=30$$ persones.
De manera que per realitzar el treball a mitja jornada i en $$10$$ dies es necessitarà un equip de $$30$$ persones.
Finalment, en un mateix problema pot haver magnituds directament proporcionals a la incògnita i magnituds inversament proporcionals a aquesta.
En una oficina central de correus, $$2$$ màquines classifiquen $$1.600$$ paquets en $$8$$ hores. Quantes màquines es necessitaran per classificar $$2.400$$ paquets en $$6$$ hores?
Mitjançant un esquema s'analitzen les relacions entre les magnituds i la incògnita:
$$\begin{eqnarray} & d & & i & \\\\ 2\ \mbox{màquines} & \rightarrow & 1600 \ \mbox{paquets} & \rightarrow & 8 \ \mbox{hores} \\\\ x\ \mbox{màquines} & \rightarrow & 2400 \ \mbox{paquets} & \rightarrow & 6 \ \mbox{hores} \\\\ & d & & i & \end{eqnarray}$$
La relació entre les màquines i els paquets processats és directa, ja que a més màquines en funcionament més paquets es classificaran. En canvi, la relació entre les màquines i les hores de funcionament és inversa, ja que a més màquines menys hores hauran d'estar en marxa per acabar el mateix volum de treball.
Ara, es transforma la relació en fraccions i es resol, tenint en compte que caldrà invertir la fracció relativa a les hores de treball:
$$\dfrac{2}{x}=\dfrac{1600}{2400}\cdot\dfrac{8}{6} \Rightarrow \dfrac{2}{x}=\dfrac{1600}{2400}\cdot\dfrac{6}{8} \Rightarrow \dfrac{2}{x}=\dfrac{9600}{19200} \Rightarrow $$
$$\Rightarrow 9600x=2\cdot19200 \Rightarrow 9600x=38400 \Rightarrow x=\dfrac{38400}{9600}=4$$ màquines.
De manera que es necessitaran $$4$$ màquines per acabar el treball assignat en el temps previst.
A l'hora de plantejar aquests problemes el millor per obtenir un resultat enter és partir d'un resultat conegut i després plantejar la relació entre magnituds a través de l'enunciat. Hi ha moltes relacions quotidianes que són proporcionals directament o inversament: des dels € / kg d'un producte alimentari fins la feina que poden fer un determinat nombre de persones, passant fins i tot per la longitud d'un document i el temps que es triga a llegir-lo.
Tanmateix, no és important que el resultat sigui enter. En l'exemple anterior, amb dades una mica diferents podria haver donat, per exemple, $$4,3$$ màquines com a resultat, i no seria molt greu. Davant d'aquest resultat, els empleats de correus haurien de saber que amb $$4$$ màquines s'acostaran a complir tant amb el volum de treball com amb el termini, mentre que si posen una màquina més la feina s'acabarà fins i tot abans de temps.