Regla de tres composta

Exemple

Si $5$ camions transporten $120$ tones de mercaderia en $2$ dies, quina quantitat de mercaderia transportaran $7$ camions en $3$ dies?

La regla de tres composta es pot expressar de la manera següent:

$\begin{array}{rclrc}5\text{camions}& \to & 120\text{tm}& \to & 2\text{dies}\\ \\ 7\text{camions}& \to & x\text{tm}& \to & 3\text{dies}\end{array}$

Que expressat en fraccions seria:

${\displaystyle \frac{\frac{5}{120}}{2}}={\displaystyle \frac{\frac{7}{x}}{3}}\Rightarrow {\displaystyle \frac{5\cdot 2}{120}}={\displaystyle \frac{7\cdot 3}{x}}\Rightarrow {\displaystyle \frac{10}{120}}={\displaystyle \frac{21}{x}}$

Per facilitar les operacions, per norma general es deixarà la fracció que conté la incògnita en un costat de la igualtat, mentre que les altres dues quedaran multiplicades en el costat contrari:

${\displaystyle \frac{120}{x}}={\displaystyle \frac{5}{7}}\cdot {\displaystyle \frac{2}{3}}$

Si operem al costat sense incògnita s'obté una regla de tres simple:

${\displaystyle \frac{120}{x}}={\displaystyle \frac{10}{21}}\Rightarrow 10x=120\cdot 21\Rightarrow 10x=2520\Rightarrow x={\displaystyle \frac{2520}{10}}=252$ tm

És a dir, els $7$ camions transportaran $252$ tm en $3$ dies.

Exemple

Un equip de $10$ obrers treballant $8$ hores al dia triga $15$ dies en acabar un encàrrec. Quantes persones a mitja jornada es necessitaran per realitzar la mateixa feina en $10$ dies?

El primer que cal fer és l'esquema de la regla de tres analitzant les relacions entre les magnituds:

$\begin{array}{rclrc}& i& & i& \\ \\ 10\text{persones}& \to & 8\text{hores}& \to & 15\text{dies}\\ \\ x\text{persones}& \to & 4\text{hores}& \to & 10\text{dies}\\ \\ & i& & i& \end{array}$

És a dir, la relació de la incògnita amb la resta de magnituds és inversa (i): a més persones, menys hores hauran de treballar per acabar l'encàrrec, i a més persones menys dies es necessitaran per a finalitzar el treball.

Si es transforma en fraccions:

${\displaystyle \frac{10}{x}}={\displaystyle \frac{8}{4}}\cdot {\displaystyle \frac{15}{10}}$

Cal invertir les fraccions del costat dret de la igualtat:

${\displaystyle \frac{10}{x}}={\displaystyle \frac{4}{8}}\cdot {\displaystyle \frac{10}{15}}$

I ara ja es pot resoldre:

${\displaystyle \frac{10}{x}}={\displaystyle \frac{4}{8}}\cdot {\displaystyle \frac{10}{15}}\Rightarrow {\displaystyle \frac{10}{x}}={\displaystyle \frac{40}{120}}\Rightarrow 40x=120\cdot 10\Rightarrow 40x=1200\Rightarrow$ $x={\displaystyle \frac{1200}{40}}=30$ persones.

De manera que per realitzar el treball a mitja jornada i en $10$ dies es necessitarà un equip de $30$ persones.

Exemple

En una oficina central de correus, $2$ màquines classifiquen $1.600$ paquets en $8$ hores. Quantes màquines es necessitaran per classificar $2.400$ paquets en $6$ hores?

Mitjançant un esquema s'analitzen les relacions entre les magnituds i la incògnita:

$\begin{array}{rclrc}& d& & i& \\ \\ 2\text{màquines}& \to & 1600\text{paquets}& \to & 8\text{hores}\\ \\ x\text{màquines}& \to & 2400\text{paquets}& \to & 6\text{hores}\\ \\ & d& & i& \end{array}$

La relació entre les màquines i els paquets processats és directa, ja que a més màquines en funcionament més paquets es classificaran. En canvi, la relació entre les màquines i les hores de funcionament és inversa, ja que a més màquines menys hores hauran d'estar en marxa per acabar el mateix volum de treball.

Ara, es transforma la relació en fraccions i es resol, tenint en compte que caldrà invertir la fracció relativa a les hores de treball:

${\displaystyle \frac{2}{x}}={\displaystyle \frac{1600}{2400}}\cdot {\displaystyle \frac{8}{6}}\Rightarrow {\displaystyle \frac{2}{x}}={\displaystyle \frac{1600}{2400}}\cdot {\displaystyle \frac{6}{8}}\Rightarrow {\displaystyle \frac{2}{x}}={\displaystyle \frac{9600}{19200}}\Rightarrow$

$\Rightarrow 9600x=2\cdot 19200\Rightarrow 9600x=38400\Rightarrow x={\displaystyle \frac{38400}{9600}}=4$ màquines.

De manera que es necessitaran $4$ màquines per acabar el treball assignat en el temps previst.