Una proporció no és més que una igualtat entre dues o més fraccions:
$$$\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d} $$$
on $$a$$ i $$d$$ s'anomenen extrems i $$b$$ i $$c$$, mitjans.
Proporció directa
Direm que la proporció és directa si relacionen magnituds en les que en augmentar una també ho fa l'altra i viceversa.
En aquest cas la regla de tres s'aplicarà de la següent manera:
Si un tren triga $$3$$ hores a recórrer $$400$$ quilòmetres, quant trigarà a recórrer el doble?
Primer observem que és un cas de proporció directa ja que a més hores més quilòmetres recorrerà el tren. La resposta es pot deduir mentalment, ja que si el tren ha de recórrer el doble de distància també trigarà el doble de temps, de manera que necessitarà $$6$$ h per recórrer els $$800$$ km. La deducció és correcta, però vegem com es resol aplicant la regla de tres per proporcions directes.
Tenim la següent relació:
$$$\begin{eqnarray} 3 \ \mbox{h} & \rightarrow & 400 \ \mbox{km}\\ x \ \mbox{h} & \rightarrow & 800 \ \mbox{km} \end{eqnarray}$$$
És a dir, si en $$3$$ h es recorren $$400$$ km, en $$x$$ h es recorreran $$800$$.
Observem que la relació també pot expressar-se seguint el model d'igualtat entre fraccions usat per descriure el concepte de proporció:
$$$\dfrac{3}{x}=\dfrac{400}{800}$$$
On les dues magnituds de l'exercici queden en fraccions diferents: el temps de banda de la igualtat i la distància a l'altre.
Ara només cal aïllar $$x$$ per trobar la solució:
$$$x=\dfrac{800\cdot3}{400}=\dfrac{2400}{400}=6$$$
Per tant el tren trigarà $$6$$ hores a recórrer $$800$$ km.
Si el quilo de cireres va a $$4,5$$ €, quant costarà comprar mig quilo?
Tenim una proporcionalitat directa ja que a menys quilos que comprem més barat ens costarà.
Tenim la relació de proporcionalitat:
$$$\begin{eqnarray} 1 \ \mbox{kg} & \rightarrow & 4,5 \ \mbox{€}\\ \frac{1}{2} \ \mbox{kg} & \rightarrow & x \ \mbox{€} \end{eqnarray}$$$
Aplicant la regla de tres tenim:
$$$x=\dfrac{\frac{1}{2}\cdot4,5}{1}=\dfrac{1}{2}\cdot4,5=2,25$$$ €
És a dir, mig quilo de cireres costaran la meitat que un quilo.
Proporció inversa
Direm que la proporció és inversa si implica una relació de magnituds que al augmentar una l'altra disminueix i viceversa. En aquest cas la regla de tres s'aplicarà de la següent manera:
Si $$2$$ agricultors triguen $$10$$ dies en llaurar un camp, quant trigaran $$5$$ agricultors a realitzar la mateixa feina?
Es tracta clarament d'un exemple de proporció inversa, ja que a més agricultors treballant menys temps es trigarà a llaurar el mateix camp.
Per resoldre s'aplica la regla de tres com s'ha ensenyat:
$$$\begin{eqnarray} 2 \ \mbox{agricultors} & \rightarrow & 10 \ \mbox{dies}\\ 5 \ \mbox{agricultors} & \rightarrow & x \ \mbox{dies} \end{eqnarray}$$$
I es resol:
$$$x=\dfrac{2\cdot10}{5}=\dfrac{20}{5}=4$$$ dies
És a dir, mentre que dos agricultors triguen $$10$$ dies, amb l'ajuda d'altres $$3$$ companys aconsegueixen fer la mateixa feina en només $$4$$ dies.