Proporció directa i inversa

Una proporció no és més que una igualtat entre dues o més fraccions:

ab=cd

on a i d s'anomenen extrems i b i c, mitjans.

Proporció directa

Direm que la proporció és directa si relacionen magnituds en les que en augmentar una també ho fa l'altra i viceversa.

En aquest cas la regla de tres s'aplicarà de la següent manera:

imagen

Exemple

Si un tren triga 3 hores a recórrer 400 quilòmetres, quant trigarà a recórrer el doble?

Primer observem que és un cas de proporció directa ja que a més hores més quilòmetres recorrerà el tren. La resposta es pot deduir mentalment, ja que si el tren ha de recórrer el doble de distància també trigarà el doble de temps, de manera que necessitarà 6 h per recórrer els 800 km. La deducció és correcta, però vegem com es resol aplicant la regla de tres per proporcions directes.

Tenim la següent relació:

3 h400 kmx h800 km

És a dir, si en 3 h es recorren 400 km, en x h es recorreran 800.

Observem que la relació també pot expressar-se seguint el model d'igualtat entre fraccions usat per descriure el concepte de proporció:

3x=400800

On les dues magnituds de l'exercici queden en fraccions diferents: el temps de banda de la igualtat i la distància a l'altre.

Ara només cal aïllar x per trobar la solució:

x=8003400=2400400=6

Per tant el tren trigarà 6 hores a recórrer 800 km.

Exemple

Si el quilo de cireres va a 4,5 €, quant costarà comprar mig quilo?

Tenim una proporcionalitat directa ja que a menys quilos que comprem més barat ens costarà.

Tenim la relació de proporcionalitat:

1 kg4,5 12 kgx 

Aplicant la regla de tres tenim:

x=124,51=124,5=2,25

És a dir, mig quilo de cireres costaran la meitat que un quilo.

Proporció inversa

Direm que la proporció és inversa si implica una relació de magnituds que al augmentar una l'altra disminueix i viceversa. En aquest cas la regla de tres s'aplicarà de la següent manera:

imagen

Exemple

Si 2 agricultors triguen 10 dies en llaurar un camp, quant trigaran 5 agricultors a realitzar la mateixa feina?

Es tracta clarament d'un exemple de proporció inversa, ja que a més agricultors treballant menys temps es trigarà a llaurar el mateix camp.

Per resoldre s'aplica la regla de tres com s'ha ensenyat:

2 agricultors10 dies5 agricultorsx dies

I es resol:

x=2105=205=4 dies

És a dir, mentre que dos agricultors triguen 10 dies, amb l'ajuda d'altres 3 companys aconsegueixen fer la mateixa feina en només 4 dies.