Percentatges

Exemple

A la IX Legislatura, $125$ dones ocupen el càrrec de diputades al Congrés. Sabent que en total hi ha $350$ diputats, quin és el percentatge de dones a la cambra baixa espanyola? I quin és el d'homes?

Per resoldre l'exercici caldrà comparar el nombre total de diputats amb $100$ i el nombre de dones amb $x$, ja que és el percentatge que es vol conèixer:

$\begin{array}{rcl}350& \to & 100\\ 125& \to & x\end{array}$

És a dir, si $350$ és el total de la càmera, s'està buscant quin tant per cent representa $125$.

La relació transformada en fraccions serà:

$${\displaystyle \frac{350}{125}}={\displaystyle \frac{100}{x}}\Rightarrow 350x=125\cdot 100\Rightarrow 350x=12500\Rightarrow$$ $$\Rightarrow x={\displaystyle \frac{12500}{350}}=35,71\mathrm{\%}$$

O bé directament, aplicant la regla de tres per proporcionalitat directa: $x={\displaystyle \frac{125\cdot 100}{350}}={\displaystyle \frac{12.500}{350}}={\displaystyle \frac{1250}{35}}=35,71\mathrm{\%}$

Arrodonint, es podria dir que el $36\mathrm{\%}$ dels diputats en el Congrés són dones.

Per calcular el percentatge d'homes hi ha dues opcions. La menys directa és calcular el nombre de diputats homes a partir de les dades de l'exercici i plantejar una altra regla de tres per veure quin percentatge representa aquesta xifra.

$350$ diputats $-125$ dones $=225$ homes.

$${\displaystyle \frac{350}{225}}={\displaystyle \frac{100}{x}}\Rightarrow 350x=225\cdot 100\Rightarrow 350x=22500\Rightarrow$$ $$\Rightarrow x={\displaystyle \frac{22500}{350}}=64,29\mathrm{\%}$$

L'opció més directa consisteix a restar el percentatge de dones a $100$, que representaria el total de la càmera:

$100-35,71=64,29\mathrm{\%}$

I és que una xifra expressada en percentatge indica una certa quantitat de cada $100$. En l'exemple anterior, que el percentatge de diputades sigui del $36\mathrm{\%}$ indica que de cada $100$ diputats de la cambra baixa espanyola, $36$ són dones. De la mateixa manera, d'aquests mateixos $100$ diputats, $64$ seran homes.

Exemple

En una botiga d'electrònica s'ofereix un reproductor MP4 a $95$ €, però s'especifica que és sense l'IVA (Impost sobre el Valor Afegit). Si l'impost per a aquest tipus de productes és del $16\mathrm{\%}$, quin és el preu final del MP4?

Cal esbrinar quants euros representa el $16\mathrm{\%}$ de $95$, ja que serà la xifra que haurà de sumar al preu ofert per obtenir al final. Per a això es recorre de nou a una regla de tres:

$\begin{array}{rcl}95\text{€}& \to & 100\\ x\text{€}& \to & 16\end{array}$

És a dir, si $95$ és el $100\mathrm{\%}$, la xifra corresponent al $16\mathrm{\%}$ serà $x$.

Expressat d'una altra manera:

${\displaystyle \frac{95}{x}}={\displaystyle \frac{100}{16}}\Rightarrow 100x=95\cdot 16\Rightarrow 100x=1520\Rightarrow x={\displaystyle \frac{1520}{100}}=15,20\text{€}$

El resultat obtingut s'ha de sumar al preu ofert per obtenir el preu final del producte:

$95+15,2=110,2$€

Exemple

Si s'aplica la relació amb el problema anterior s'obté directament el preu final del MP4:

$$P_f=95+(95\cdot {\displaystyle \frac{16}{100}})=95+({\displaystyle \frac{1520}{100}})=$$ $$=95+15,2=110,2\text{€}$$

Exemple

Una botiga de roba esportiva ofereix un $25\mathrm{\%}$ de descompte en totes les dessuadores. Quant valdrà una dessuadora si el preu abans de la rebaixa és de $65$ €?

De nou, l'exercici es pot resoldre per mitjà d'una regla de tres o aplicant la relació anterior. Es començarà amb el primer cas:

$\begin{array}{rcl}65\text{€}& \to & 100\\ x\text{€}& \to & 25\end{array}$

O, expressat d'una altra manera:

${\displaystyle \frac{65}{x}}={\displaystyle \frac{100}{25}}\Rightarrow 100x=65\cdot 25\Rightarrow 100x=1625\Rightarrow x={\displaystyle \frac{1625}{100}}=16,25\text{€}$

Com es tracta d'un descompte, la xifra obtinguda caldrà restar de la inicial per obtenir el preu final rebaixat:

$65-16,25=48,75$€

S'arriba al mateix resultat aplicant la relació indicada anteriorment, però en aquest cas en comptes de sumar l'expressió entre parèntesis caldrà restar, ja que es tracta d'una rebaixa, no d'un augment:

$$P_f=P-(P\cdot {\displaystyle \frac{n}{100}})=65-(65\cdot {\displaystyle \frac{25}{100}})=65-({\displaystyle \frac{1625}{100}})=$$

$$=65-16,25=48,75\text{€}$$

Exemple

Una botiga d'informàtica vol guanyar $2.000$ € nets per cada portàtil d'alta gamma que ven. Com l'IVA per a aquest producte és del $16\mathrm{\%}$, quin hauria de ser el preu final de venda?

Un error bastant comú seria afegir un $16\mathrm{\%}$ als $2.000$ € per obtenir el preu final. S'aplicarà la relació per comprovar:

$$P_f=2000+(2000\cdot {\displaystyle \frac{16}{100}})=2000+({\displaystyle \frac{32000}{100}})=$$ $$=2000+320=2320\text{€}$$

Però, quant és $2.320$ menys el $16\mathrm{\%}$ d'IVA, l'impost que la botiga està obligada a tornar a Hisenda?

$$P_f=2320-(2320\cdot {\displaystyle \frac{16}{100}})=2320-({\displaystyle \frac{37120}{100}})=$$ $$=2320-371,2=1948,8\text{€}$$

Una vegada que la botiga ha ingressat el $16\mathrm{\%}$ de la venda a Hisenda li queden $1.948,8$ € nets de la venda i no els $2.000$ € que esperava. ¿Quin ha estat el problema?

En realitat, el llibreter ha considerat els $2.000$ € com el $100\mathrm{\%}$, quan en realitat no ho són, ja que només el preu final representa el $100\mathrm{\%}$. De fet, hauria d'haver aplicat la següent regla de tres:

$\begin{array}{rcl}2000\text{€}& \to & 84\mathrm{\%}\\ x\text{€}& \to & 100\mathrm{\%}\end{array}$

De manera que els $2.000$ € representen el $84\mathrm{\%}$ del preu final, és a dir, el $100\mathrm{\%}$ menys el $16\mathrm{\%}$ destinat a IVA, mentre que $x$ és el preu final buscat i, per tant, és el $100\mathrm{\%}$.

Expressat en fraccions tenim que:

${\displaystyle \frac{2000}{x}}={\displaystyle \frac{84}{100}}\Rightarrow 84x=2000\cdot 100\Rightarrow 84x=200.000\Rightarrow$ $x={\displaystyle \frac{200.000}{84}}=2380,95\text{€}$

Ara, en treure el $16\mathrm{\%}$ a la quantitat obtinguda:

$$P_f=2380,95-(2380,95\cdot {\displaystyle \frac{16}{100}})=2380,95-({\displaystyle \frac{38095,2}{100}})=$$

$$=2380,95-380,95=2000\text{€}$$

S'obtenen nets els $2.000$ € desitjats per la botiga.