Porcentajes

Ejemplo

En la IX Legislatura, $125$ mujeres ocupan el cargo de diputadas en el Congreso. Sabiendo que en total hay $350$ diputados, ¿cuál es el porcentaje de mujeres en la cámara baja española? ¿Y cuál es el de hombres?

Para resolver el ejercicio habrá que comparar el número total de diputados con $100$ y el número de mujeres con $x$, puesto que es el porcentaje que se quiere conocer:

$\begin{array}{rcl}350& \to & 100\\ 125& \to & x\end{array}$

Es decir, si $350$ es el total de la cámara, se está buscando qué tanto por ciento representa $125$.

La relación transformada en fracciones será:

$${\displaystyle \frac{350}{125}}={\displaystyle \frac{100}{x}}\Rightarrow 350x=125\cdot 100\Rightarrow 350x=12500\Rightarrow$$ $$\Rightarrow x={\displaystyle \frac{12500}{350}}=35,71\mathrm{\%}$$

O bien directamente, aplicando la regla de tres por proporcionalidad directa: $x={\displaystyle \frac{125\cdot 100}{350}}={\displaystyle \frac{12.500}{350}}={\displaystyle \frac{1250}{35}}=35,71\mathrm{\%}$

Redondeando, se podría decir que el $36\mathrm{\%}$ de los diputados en el Congreso son mujeres.

Para calcular el porcentaje de hombres hay dos opciones. La menos directa es calcular el número de diputados hombres a partir de los datos del ejercicio y plantear otra regla de tres para ver qué porcentaje representa dicha cifra.

$350$ diputados $-125$ mujeres $=225$ hombres.

$${\displaystyle \frac{350}{225}}={\displaystyle \frac{100}{x}}\Rightarrow 350x=225\cdot 100\Rightarrow 350x=22500\Rightarrow$$ $$\Rightarrow x={\displaystyle \frac{22500}{350}}=64,29\mathrm{\%}$$

La opción más directa consiste en restar el porcentaje de mujeres a $100$, que representaría el total de la cámara:

$100-35,71=64,29\mathrm{\%}$

Y es que una cifra expresada en porcentaje indica una cierta cantidad de cada $100$. En el ejemplo anterior, que el porcentaje de diputadas sea del $36\mathrm{\%}$ indica que de cada $100$ diputados de la cámara baja española, $36$ son mujeres. Del mismo modo, de esos mismo $100$ diputados, $64$ serán hombres.

Ejemplo

En una tienda de electrónica se oferta un reproductor MP4 a $95$ €, pero se especifica que es sin el IVA (Impuesto sobre el Valor Añadido). Si el impuesto para este tipo de productos es del $16\mathrm{\%}$, ¿cuál es el precio final del MP4?

Hay que averiguar cuántos euros representa el $16\mathrm{\%}$ de $95$, puesto que será la cifra que habrá que sumar al precio ofertado para obtener el final. Para ello se recurre de nuevo a una regla de tres:

$\begin{array}{rcl}95\text{€}& \to & 100\\ x\text{€}& \to & 16\end{array}$

Es decir, si $95$ es el $100\mathrm{\%}$, la cifra correspondiente al $16\mathrm{\%}$ será $x$.

Expresado de otro modo:

${\displaystyle \frac{95}{x}}={\displaystyle \frac{100}{16}}\Rightarrow 100x=95\cdot 16\Rightarrow 100x=1520\Rightarrow x={\displaystyle \frac{1520}{100}}=15,20\text{€}$

El resultado obtenido hay que sumarlo al precio ofertado para obtener el precio final del producto:

$95+15,2=110,2$€

Ejemplo

Si se aplica la relación al problema anterior se obtiene directamente el precio final del MP4:

$$P_f=95+(95\cdot {\displaystyle \frac{16}{100}})=95+({\displaystyle \frac{1520}{100}})=$$ $$=95+15,2=110,2\text{€}$$

Ejemplo

Una tienda de ropa deportiva ofrece un $25\mathrm{\%}$ de descuento en todas las sudaderas. ¿Cuánto valdrá una sudadera cuyo precio antes de la rebaja es de $65$€?

De nuevo, el ejercicio puede resolverse por medio de una regla de tres o aplicando la relación anterior. Se empezará con el primer caso:

$\begin{array}{rcl}65\text{€}& \to & 100\\ x\text{€}& \to & 25\end{array}$

O, expresado de otro modo:

${\displaystyle \frac{65}{x}}={\displaystyle \frac{100}{25}}\Rightarrow 100x=65\cdot 25\Rightarrow 100x=1625\Rightarrow x={\displaystyle \frac{1625}{100}}=16,25\text{€}$

Como se trata de un descuento, la cifra obtenida habrá que restarla de la inicial para obtener el precio final rebajado:

$65-16,25=48,75$€

Se llega al mismo resultado aplicando la relación indicada anteriormente, pero en este caso en vez de sumar la expresión entre paréntesis habrá que restarla, puesto que se trata de una rebaja, no de un aumento:

$$P_f=P-(P\cdot {\displaystyle \frac{n}{100}})=65-(65\cdot {\displaystyle \frac{25}{100}})=65-({\displaystyle \frac{1625}{100}})=$$

$$=65-16,25=48,75\text{€}$$

Ejemplo

Una tienda de informática quiere ganar $2.000$ € netos por cada portátil de alta gama que vende. Como el IVA para este producto es del $16\mathrm{\%}$, ¿cuál debería ser el precio final de venta?

Un error bastante común sería añadir un $16\mathrm{\%}$ a los $2.000$ € para obtener el precio final. Se aplicará la relación para comprobarlo:

$$P_f=2000+(2000\cdot {\displaystyle \frac{16}{100}})=2000+({\displaystyle \frac{32000}{100}})=$$ $$=2000+320=2320\text{€}$$

Pero, ¿cuánto es $2.320$ menos el $16\mathrm{\%}$ de IVA, el impuesto que la tienda está obligada a devolver a Hacienda?

$$P_f=2320-(2320\cdot {\displaystyle \frac{16}{100}})=2320-({\displaystyle \frac{37120}{100}})=$$ $$=2320-371,2=1948,8\text{€}$$

Una vez que la tienda ha ingresado el $16\mathrm{\%}$ de la venta a Hacienda le quedan $1.948,8$ € netos de la venta y no los $2.000$ € que esperaba. ¿Cuál ha sido el problema?

En realidad, el librero ha considerado los $2.000$ € como el $100\mathrm{\%}$, cuando en realidad no lo son, puesto que sólo el precio final representa el $100\mathrm{\%}$. De hecho, debería haber aplicado la siguiente regla de tres:

$\begin{array}{rcl}2000\text{€}& \to & 84\mathrm{\%}\\ x\text{€}& \to & 100\mathrm{\%}\end{array}$

De modo que los $2.000$ € representan el $84\mathrm{\%}$ del precio final, es decir, el $100\mathrm{\%}$ menos el $16\mathrm{\%}$ destinado a IVA, mientras que $x$ es el precio final buscado y, por tanto, es el $100\mathrm{\%}$.

Expresado en fracciones se tiene que:

${\displaystyle \frac{2000}{x}}={\displaystyle \frac{84}{100}}\Rightarrow 84x=2000\cdot 100\Rightarrow 84x=200.000\Rightarrow$ $x={\displaystyle \frac{200.000}{84}}=2380,95\text{€}$

Ahora, al quitar el $16\mathrm{\%}$ a la cantidad obtenida:

$$P_f=2380,95-(2380,95\cdot {\displaystyle \frac{16}{100}})=2380,95-({\displaystyle \frac{38095,2}{100}})=$$

$$=2380,95-380,95=2000\text{€}$$

Se obtienen netos los $2.000$ € deseados por la tienda.