Repartiments proporcionals: directes i inversos

Exemple

Un avi decideix repartir $6.000$ € entre els seus tres néts, però en comptes de donar-los un terç a cadascun prefereix fer-ho de forma proporcional a l'edat de cada nét, que tenen $7,12$ i $21$ anys. Quant rebrà cadascún d'ells?

Per encarar aquest tipus de problemes caldrà assignar una incògnita a cada una de les parts, de manera que:

La quantitat que li correspon al nét de $7$ anys es denominarà $x$, la del nét de $12$ anys serà $y$, i la del de $21$ anys serà $z$.

Com l'avi ha decidit, per la raó que sigui, repartir els diners en funció de l'edat, el nét més jove li tocaran ${\displaystyle \frac{x}{7}}$ parts del total, al mitjà ${\displaystyle \frac{y}{12}}$ parts i al major ${\displaystyle \frac{z}{21}}$ parts. La relació es pot esquematitzar de la manera següent:

$${\displaystyle \frac{x}{7}}={\displaystyle \frac{y}{12}}={\displaystyle \frac{z}{21}}$$

On $x,y,z$, representen la quantitat que rebrà cada nét, la suma serà la quantitat total a repartir, és a dir, els $6.000$ €.

Exemple

Aplicant aquesta regla a l'exemple s'haurà de: $${\displaystyle \frac{x}{7}}={\displaystyle \frac{y}{12}}={\displaystyle \frac{z}{21}}={\displaystyle \frac{x+y+z}{7+12+21}}={\displaystyle \frac{C}{40}}$$

Ja que la quantitat total repartida, $C=6000$ €, ha de ser la suma del que s'assigna a cada nét $x+y+z$. Com la nova fracció obtinguda és igual a qualsevol de les altres, es pot igualar amb cada incògnita, el que permetrà trobar el seu valor:

El nét més jove rebrà:

${\displaystyle \frac{x}{7}}={\displaystyle \frac{C}{40}}\Rightarrow {\displaystyle \frac{x}{7}}={\displaystyle \frac{6000}{40}}\Rightarrow 40x=7\cdot 6000\Rightarrow 40x=42.000$

$\Rightarrow x={\displaystyle \frac{42.000}{40}}=1050$ €

Al nét mitjà li tocaran:

${\displaystyle \frac{y}{12}}={\displaystyle \frac{C}{40}}\Rightarrow {\displaystyle \frac{y}{12}}={\displaystyle \frac{6000}{40}}\Rightarrow 40y=12\cdot 6000\Rightarrow 40y=72.000$

$\Rightarrow y={\displaystyle \frac{72.000}{40}}=1800$ €

Finalment, al nét major li corresponen:

${\displaystyle \frac{z}{21}}={\displaystyle \frac{C}{40}}\Rightarrow {\displaystyle \frac{z}{21}}={\displaystyle \frac{6000}{40}}\Rightarrow 40z=21\cdot 6000\Rightarrow 40z=126.000$

$\Rightarrow z={\displaystyle \frac{126.000}{40}}=3150$ €

Si l'operació s'ha fet bé, la suma de les quantitats repartides ha de ser igual al total:

$1050+1800+3150=6000$ €.

Exemple

L' Antoni, l' Alba i l' Albert són tres cambrers que sempre es reparteixen les propines del mes en funció de les hores diàries que treballa cada un. L'Antoni treballa $8$ hores al dia i aquest mes l'han correspost $124$ €. Si l' Alba treballa $6$ hores al dia i l'Albert $4$ hores al dia, quant els correspon a ells? A quant han pujat les propines aquest mes?

El primer que cal observar és que es tracta d'un repartiment directament proporcional. El segon és adonar-se que a partir de la dada del que rep l'Antoni es pot conèixer tota la resta.

Si es denomina $x$ a la part que li correspon a l'Antoni, $y$ a la de l'Alba i $z$ a la d'Albert, l'esquema del repartiment serà:

$${\displaystyle \frac{x}{8}}={\displaystyle \frac{y}{6}}={\displaystyle \frac{z}{4}}$$

Però, de fet, el valor de $x$ és conegut, ja que l'enunciat diu que es porta $124$ €, així que igualar aquesta fracció amb cadascuna de les altres dues permetrà saber les dades que falten.

A l'Alba li correspondran:

${\displaystyle \frac{x}{8}}={\displaystyle \frac{y}{6}}\Rightarrow {\displaystyle \frac{124}{8}}={\displaystyle \frac{y}{6}}\Rightarrow 8y=124\cdot 6\Rightarrow$

$8y=744\Rightarrow y={\displaystyle \frac{744}{8}}=93$ €

Mentre que a l'Albert li corresponen:

${\displaystyle \frac{x}{8}}={\displaystyle \frac{z}{4}}\Rightarrow {\displaystyle \frac{124}{8}}={\displaystyle \frac{z}{4}}\Rightarrow 8z=124\cdot 4\Rightarrow$

$8z=496\Rightarrow z={\displaystyle \frac{496}{8}}=62$ €

Ara, per saber a quant ascendia el total de propines l'opció més ràpida consisteix a sumar directament les quantitats que es porta cada cambrer: $124+93+62=279$ €