Un altre àmbit de la proporcionalitat són els anomenats repartiments proporcionals, és a dir, quan es vol repartir una quantitat de formar proporcional, ja sigui directa o inversa, entre diverses parts.
Un avi decideix repartir $$6.000$$ € entre els seus tres néts, però en comptes de donar-los un terç a cadascun prefereix fer-ho de forma proporcional a l'edat de cada nét, que tenen $$7, 12$$ i $$21$$ anys. Quant rebrà cadascún d'ells?
Per encarar aquest tipus de problemes caldrà assignar una incògnita a cada una de les parts, de manera que:
La quantitat que li correspon al nét de $$7$$ anys es denominarà $$x$$, la del nét de $$12$$ anys serà $$y$$, i la del de $$21$$ anys serà $$z$$.
Com l'avi ha decidit, per la raó que sigui, repartir els diners en funció de l'edat, el nét més jove li tocaran $$\dfrac{x}{7}$$ parts del total, al mitjà $$\dfrac{y}{12}$$ parts i al major $$\dfrac{z}{21}$$ parts. La relació es pot esquematitzar de la manera següent:
$$$\dfrac{x}{7}=\dfrac{y}{12}=\dfrac{z}{21}$$$
On $$x, y, z$$, representen la quantitat que rebrà cada nét, la suma serà la quantitat total a repartir, és a dir, els $$6.000$$ €.
En aquest punt cal citar una altra propietat important de les proporcions, i és que:
$$$\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=\dfrac{a+c}{b+d}$$$
És a dir, en una proporció, en sumar els numeradors i els denominadors de les fraccions que la integren s'obté una nova fracció que és proporcional a qualsevol de les implicades.
Aplicant aquesta regla a l'exemple s'haurà de: $$$\dfrac{x}{7}=\dfrac{y}{12}=\dfrac{z}{21}=\dfrac{x+y+z}{7+12+21}=\dfrac{C}{40}$$$
Ja que la quantitat total repartida, $$C=6000$$ €, ha de ser la suma del que s'assigna a cada nét $$x+y+z$$. Com la nova fracció obtinguda és igual a qualsevol de les altres, es pot igualar amb cada incògnita, el que permetrà trobar el seu valor:
El nét més jove rebrà:
$$\dfrac{x}{7}=\dfrac{C}{40} \Rightarrow \dfrac{x}{7}=\dfrac{6000}{40} \Rightarrow 40x=7\cdot6000 \Rightarrow 40x=42.000$$
$$\Rightarrow x=\dfrac{42.000}{40}=1050$$ €
Al nét mitjà li tocaran:
$$\dfrac{y}{12}=\dfrac{C}{40} \Rightarrow \dfrac{y}{12}=\dfrac{6000}{40} \Rightarrow 40y=12\cdot6000 \Rightarrow 40y=72.000$$
$$\Rightarrow y=\dfrac{72.000}{40}=1800$$ €
Finalment, al nét major li corresponen:
$$\dfrac{z}{21}=\dfrac{C}{40} \Rightarrow \dfrac{z}{21}=\dfrac{6000}{40} \Rightarrow 40z=21\cdot6000 \Rightarrow 40z=126.000$$
$$\Rightarrow z=\dfrac{126.000}{40}=3150$$ €
Si l'operació s'ha fet bé, la suma de les quantitats repartides ha de ser igual al total:
$$1050+1800+3150=6000$$ €.
L'exemple anterior és un cas clar de repartiment directament proporcional, ja que els néts amb més edat reben més diners i viceversa. Però:
Què passaria si l'avi decidís repartir els diners de forma inversament proporcional a l'edat dels néts?
Doncs que com més edat menys diners rebran i viceversa, de manera que cal elaborar una relació que segueixi aquesta premissa.
Si es mantenen les incògnites per a cada nét, al més jove li tocarà una quantitat inversament proporcional a la seva edat, de manera que si en el repartiment directe li tocaven $$\dfrac{x}{7}$$ ara li tocaran $$\dfrac{x}{\frac{1}{7}}$$ o, el que és el mateix, $$7x$$:
$$\mbox{Repartiment directament proporcional:} \dfrac{x}{7}$$
$$ \mbox{Repartiment inversament proporcional:} \dfrac{x}{\frac{1}{7}}$$
És a dir, per expressar el repartiment invers cal invertir el denominador de la fracció corresponent a cada nét, de manera que:
$$$\dfrac{x}{\frac{1}{7}}=\dfrac{y}{\frac{1}{12}}=\dfrac{z}{\frac{1}{21}}$$$
Ara, per trobar la fracció comparable a aquestes caldrà sumar els numeradors i els denominadors:
$$$\dfrac{x}{\frac{1}{7}}=\dfrac{y}{\frac{1}{12}}=\dfrac{z}{\frac{1}{21}}=\dfrac{C}{\frac{1}{7}+\frac{1}{12}+\frac{1}{21}}$$$
Si s'opera el denominador que conté la suma de fraccions s'obté que:
$$$\dfrac{1}{7}+\dfrac{1}{12}+\dfrac{1}{21}=\dfrac{12+7+4}{84}=\dfrac{23}{84}$$$
De manera que la relació del repartiment quedarà:
$$$\dfrac{x}{\frac{1}{7}}=\dfrac{y}{\frac{1}{12}}=\dfrac{z}{\frac{1}{21}}=\dfrac{C}{\frac{23}{84}}$$$
O el que és el mateix:
$$7x=12y=21z=\dfrac{84\cdot C}{23}$$
En aquest punt ja es poden realitzar els repartiments corresponents a cada nét.
Al més jove li tocarà:
$$7x=\dfrac{84C}{23} \Rightarrow x=\dfrac{84\cdot6000}{23\cdot7}=\dfrac{504.000}{161}=3130,43$$ €
El mitjà rebrà:
$$12y=\dfrac{84C}{23} \Rightarrow y=\dfrac{84\cdot6000}{23\cdot12}=\dfrac{504.000}{276}=1826,09$$ €
I al més gran li correspondran:
$$21z=\dfrac{84C}{23} \Rightarrow z=\dfrac{84\cdot6000}{23\cdot21}=\dfrac{504.000}{483}=1043,48$$ €
Es pot comprovar que tot sigui correcte sumant les quantitats per veure si sumen els $$6000$$ € a repartir:
$$3130,43+1826,09+1043,48=6000$$ €.
En els problemes de repartiments proporcionals és habitual que la quantitat total a repartir sigui desconeguda, però en aquests casos es donen pistes per esbrinar-la.
L' Antoni, l' Alba i l' Albert són tres cambrers que sempre es reparteixen les propines del mes en funció de les hores diàries que treballa cada un. L'Antoni treballa $$8$$ hores al dia i aquest mes l'han correspost $$124$$ €. Si l' Alba treballa $$6$$ hores al dia i l'Albert $$4$$ hores al dia, quant els correspon a ells? A quant han pujat les propines aquest mes?
El primer que cal observar és que es tracta d'un repartiment directament proporcional. El segon és adonar-se que a partir de la dada del que rep l'Antoni es pot conèixer tota la resta.
Si es denomina $$x$$ a la part que li correspon a l'Antoni, $$y$$ a la de l'Alba i $$z$$ a la d'Albert, l'esquema del repartiment serà:
$$$\dfrac{x}{8}=\dfrac{y}{6}=\dfrac{z}{4}$$$
Però, de fet, el valor de $$x$$ és conegut, ja que l'enunciat diu que es porta $$124$$ €, així que igualar aquesta fracció amb cadascuna de les altres dues permetrà saber les dades que falten.
A l'Alba li correspondran:
$$\dfrac{x}{8}=\dfrac{y}{6} \Rightarrow \dfrac{124}{8}=\dfrac{y}{6} \Rightarrow 8y=124\cdot6 \Rightarrow$$
$$8y=744 \Rightarrow y=\dfrac{744}{8}=93$$ €
Mentre que a l'Albert li corresponen:
$$\dfrac{x}{8}=\dfrac{z}{4} \Rightarrow \dfrac{124}{8}=\dfrac{z}{4} \Rightarrow 8z=124\cdot4 \Rightarrow$$
$$8z=496 \Rightarrow z=\dfrac{496}{8}=62$$ €
Ara, per saber a quant ascendia el total de propines l'opció més ràpida consisteix a sumar directament les quantitats que es porta cada cambrer: $$124+93+62=279$$ €